几何基础之点在多边形内的判断

1.判断点在三角形的内外

$S_{\Delta PAB}+S_{\Delta PAC}+S_{\Delta PBC}=S_{\Delta ABC}$ 即可判定点P在 $\Delta ABC$ 内。

三角形面积计算公式： $S=\frac{1}{2}\times |a\times b|=\frac{1}{2}\times (x1y2-x2y1)$ .

2.判断点在多边形的内外

方法一：扫描法

以p点做一条射线，让其与多边形一个顶点相交，再判断是否与多边形上点共线当然这个点不可能是顶点，就是说作一条射线，与多边形相交一点就认为在里面，相交0或偶数点就在外面（仔细想想为什么偶数点就一定可以）。

#include<iostream>
#include<string>
#include<sstream>
#include<set>
#include<algorithm>
#include<vector>
#include<map>
using namespace std;
#define eps 1.0e-5
inline double max(double a, double b) { return a > b ? a : b; }
inline double min(double a, double b) { return a < b ? a : b; }
inline double dabs(double a) { return a <0 ? -a : a; }
struct Point {double x, y;
};
Point poly[110];
int n, m;
bool online(const Point& p1, const Point& p2, const Point& p3) {//判断是否共线if (p2.x >= min(p1.x, p3.x) && p2.x <= max(p1.x, p3.x) && p2.y >= min(p1.y, p3.y) && p2.y <= max(p1.y, p3.y)) {if (dabs((p2.x - p1.x)*(p3.y - p1.y) - (p3.x - p1.x)*(p2.y - p1.y)) <= eps)return true;}return false;
}
bool insidepolygon(Point p) {int counter = 0;double xinters;Point p1, p2;p1 = poly[0];for (int i = 1; i <= n; i++) {p2 = poly[i%n];if (online(p1, p, p2))return true;if (p.y > min(p1.y, p2.y)&& p.y <= max(p1.y, p2.y)&& p.x <= max(p1.x, p2.x)) {if (p1.y != p2.y) {xinters = (p.y - p1.y)*(p2.x - p1.x) / (p2.y - p1.y) + p1.x;if (p1.x == p2.x || p.x <= xinters)counter++;//说明射线与顶点之外的的相交}}p1 = p2;}if (counter % 2 == 0)return false;return true;
}int main() {int t = 0;Point p;while (cin >> n&&n) {cin >> m;for (int i = 0; i < n; i++)cin >> poly[i].x >> poly[i].y;for (int i = 0; i < m; i++) {cin >> p.x >> p.y;if (insidepolygon(p))cout << "Within" << endl;elsecout << "Outside" << endl;}}return 0;
}

方法二：叉乘判别法（只适用于凸边形）

连接要测试的点p与第一个顶点为向量v，连接第一个顶点与第二个顶点为向量u，都以第一个顶点为起点，u和v做叉乘，从第二条边开始判断上一个结果*当前是否小于0，小于0就在外面。

struct Point {double x, y;
};
double multi(Point p1, Point p2, Point p0) {return (p1.x - p0.x)*(p2.y - p0.y) - (p2.x - p0.x)*(p1.y - p0.y);
}
Point edge[100][2];//记录边，起点和终点
int isInside(Point p, Point edge[][2], int n) {int i;double pre;double now;for (i = 0; i < n; i++) {now = multi(p, edge[i][1], edge[i][0]);if (i > 0) {if (pre*now < 0)//主要是记录方向return 0;}pre = now;}return 1;
}

方法三：角度和的判断法（适用任意多边形）

p点到各个顶点边的夹角和为360。

累计交相加就可以了，可以用叉积来求。

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