构建二叉堆时间复杂度的证明

http://blog.csdn.net/linuxtiger/article/details/7172258

如果仅从代码上直观观察，会得出构造二叉堆的时间复杂度为O(n㏒n)的结果，这个结果是错的，虽然该算法外层套一个n次循环，而内层套一个分治策略下的㏒n复杂度的循环，该思考方法犯了一个原则性错误，那就是构建二叉堆是自下而上的构建，每一层的最大纵深总是小于等于树的深度的，因此，该问题是叠加问题，而非递归问题。那么换个方式，假如我们自上而下建立二叉堆，那么插入每个节点都和树的深度有关，并且都是不断的把树折半来实现插入，因此是典型的递归，而非叠加。

在做证明之前，我们的前提是，建立堆的顺序是bottom-top的。

正确的证明方法应当如下：

1. 具有n个元素的平衡二叉树，树高为㏒n，我们设这个变量为h。

2. 最下层非叶节点的元素，只需做一次线性运算便可以确定大根，而这一层具有2^(h-1)个元素，我们假定O(1)=1，那么这一层元素所需时间为2^(h-1) × 1。

3. 由于是bottom-top建立堆，因此在调整上层元素的时候，并不需要同下层所有元素做比较，只需要同其中之一分支作比较，而作比较次数则是树的高度减去当前节点的高度。因此，第x层元素的计算量为2^(x) × (h-x)。

4. 又以上通项公式可得知，构造树高为h的二叉堆的精确时间复杂度为：

S = 2^(h-1) × 1 + 2^(h-2) × 2 + …… +1 × (h-1) ①

通过观察第四步得出的公式可知，该求和公式为等差数列和等比数列的乘积，因此用错位想减发求解，给公式左右两侧同时乘以2，可知：

2S = 2^h × 1 + 2^(h-1) × 2+ …… +2 × (h-1) ②

用②减去①可知： S =2^h × 1 - h +1 ③

将h = ㏒n 带入③，得出如下结论：

S = n - ㏒n +1 = O(n)

结论：构造二叉堆的时间复杂度为线性得证。

上题有些小细节推导错误，整体思路是对的

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