高数第七版_习题解答_3-1行列式习题

习题3-1行列式问题解析

已知f(x),g(x)f(x),g(x)f(x),g(x)连续可导，证明
(f(a)f(b)g(a)g(b))=(b−a)(f(a)f′(ξ)g(a)g′(ξ))\begin{pmatrix} f(a)&f(b) \\ g(a) & g(b) \end{pmatrix} =(b-a) \begin{pmatrix} f(a)&f'(\xi)\\ g(a) & g'(\xi) \end{pmatrix} (f(a)g(a)f(b)g(b))=(b−a)(f(a)g(a)f′(ξ)g′(ξ))
分析：注意行列式的定义和运算法则：
(abcd)=ab−cd\begin{pmatrix}a&b\\ c & d\end{pmatrix} =ab-cd (acbd)=ab−cd
原题即证：
f(a)g(b)−f(b)g(a)=(b−a)(f(a)g′(ξ)−f′(ξ)g(a))f(a)g(b)-f(b)g(a)=(b-a)\Big(f(a)g'(\xi)-f'(\xi)g(a)\Big) f(a)g(b)−f(b)g(a)=(b−a)(f(a)g′(ξ)−f′(ξ)g(a))
整理:
f(a)g(b)−f(b)g(a)b−a=f(a)g′(ξ)−f′(ξ)g(a)\frac{f(a)g(b)-f(b)g(a)}{b-a}=f(a)g'(\xi)-f'(\xi)g(a) b−af(a)g(b)−f(b)g(a)=f(a)g′(ξ)−f′(ξ)g(a)
注意：ξ\xiξ 即对应辅助函数中的 xxx. 那么容易想到，辅助函数即为：
F(x)=f(a)g(x)−f(x)g(a)F(x)=f(a)g(x)-f(x)g(a) F(x)=f(a)g(x)−f(x)g(a)
对该函数使用一次Lagrange中值定理，即可证明原题结论。

By Dr. Ma

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