高数第七版_习题解答_3-2 考研题提示及答案

2024-05-26 11:19:43

3-2 考研题提示及答案

1、求极限

lim⁡x→0sin⁡x−sin⁡(sin⁡x)x3\lim_{x\rightarrow0}\frac{\sin x- \sin(\sin x)}{x^3} x→0limx3sinx−sin(sinx)

=lim⁡x→0sin⁡x−sin⁡(sin⁡x)x3=L′Hospitallim⁡x→0(sin⁡x−sin⁡(sin⁡x))′(x3)′=lim⁡x→0cos⁡x−cos⁡(sin⁡x)⋅cos⁡x3x2=(lim⁡x→0cos⁡x)⋅(lim⁡x→01−cos⁡(sin⁡x)3x2)=L′Hospitallim⁡x→0x223x2=16\begin{aligned} &=\lim_{x\rightarrow0}\frac{\sin x- \sin(\sin x)}{x^3} \\ &\overset{{\color{red}L'Hospital}}{=} \lim_{x\rightarrow0}\frac{(\sin x- \sin(\sin x))'}{(x^3)'}\\ &= \lim_{x\rightarrow0}\frac{\cos x- \cos(\sin x)\cdot \cos x}{3 x^2}\\ &= \left(\lim_{x\rightarrow0} \cos x \right) \cdot\left( \lim_{x\rightarrow0}\frac{1- \cos(\sin x)}{3 x^2} \right)\\ &\overset{{\color{red}L'Hospital}}{=}\lim_{x\rightarrow0}\frac{\frac{x^2}{2}}{3 x^2}=\frac{1}{6} \end{aligned} =x→0limx3sinx−sin(sinx)=L′Hospitalx→0lim(x3)′(sinx−sin(sinx))′=x→0lim3x2cosx−cos(sinx)⋅cosx=(x→0limcosx)⋅(x→0lim3x21−cos(sinx))=L′Hospitalx→0lim3x22x2=61
注：这里关键是灵活运用等价无穷小替换和洛必达法则

1−cos⁡(sin⁡x)∼12(sin⁡x)2∼12x2{\color{red}1-\cos (\sin x) \sim \frac{1}{2}(\sin x)^2\sim \frac{1}{2}x^2}1−cos(sinx)∼21(sinx)2∼21x2

2、求极限

lim⁡x→0(cos⁡x)1ln⁡(1+x2)\lim_{x\rightarrow0}(\cos x)^{\frac{1}{\ln (1+x^2)}} x→0lim(cosx)ln(1+x2)1
分析: 利用公式：
lim⁡(1+u)v=elim⁡(v⋅ln⁡(1+u))=elim⁡v⋅u\lim(1+u)^v = e^{ \lim (v\cdot\ln(1+u))}=e^{ \lim v\cdot u} lim(1+u)v=elim(v⋅ln(1+u))=elimv⋅u
于是：
lim⁡x→0(cos⁡x)1ln⁡(1+x2)=lim⁡x→0e1−2sin⁡2x2ln⁡(1+x2)=lim⁡x→0e−12=1e\lim_{x\rightarrow0}(\cos x)^{\frac{1}{\ln (1+x^2)}}=\lim_{x\rightarrow0}e^{\frac{1-2\sin^2\frac{x}{2}}{\ln(1+x^2)}}=\lim_{x\rightarrow0}e^{-\frac{1}{2}}=\frac{1}{\sqrt{e}} x→0lim(cosx)ln(1+x2)1=x→0limeln(1+x2)1−2sin22x=x→0lime−21=e1

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