【数理知识】co-inner-outer factorizations

线性时不变微分代数系统
ddtEx(t)=Ax(t)+Bu(t),y(t)=Cx(t)+Du(t),\begin{aligned}\frac{d}{dt} Ex(t) &= Ax(t) + Bu(t), \\ y(t) &= Cx(t) + Du(t), \end{aligned}dtdEx(t)y(t)=Ax(t)+Bu(t),=Cx(t)+Du(t),

这里 sE−A∈R[s]n×nsE-A \in \R[s]^{n\times n}sE−A∈R[s]n×n 是正规的，B∈Rn×m,C∈Rp×n,D∈Rp×mB\in\R^{n\times m}, C\in\R^{p\times n}, D\in\R^{p\times m}B∈Rn×m,C∈Rp×n,D∈Rp×m，
传递函数 (transfer function) 为
G(s)=C(sE−A)−1B+D.G(s) = C(sE − A)^{−1}B + D. G(s)=C(sE−A)−1B+D.

Definition: 一个合理的矩阵 G(s)∈R(s)p×mG(s) ∈ \R(s)^{p×m}G(s)∈R(s)p×m 称为
a) outer 如果 p=rankR(s)G(s)p = \text{rank}_{\R(s)} G(s)p=rankR(s)G(s) 且 G(s)G(s)G(s) 无零点在 C+\mathbb{C}+C+;
b) inner 如果 G(s)G(s)G(s) 无极点在 C+\mathbb{C}+C+ 且 GH(−s)G(s)=ImG^H(−s)G(s) = I_mGH(−s)G(s)=Im.

因此
定义如下形式的因式分解
G(s)=Gi(s)Go(s),G(s) = G_i(s) G_o(s),G(s)=Gi(s)Go(s),

这里 Gi(s)G_i(s)Gi(s) 是 inner , Go(s)G_o(s)Go(s) 是 outer.

Ref: Inner-Outer Factorization for Differential-Algebraic Equations

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