python与线性代数 线性方程组的解集
齐次线性方程组
齐次线性方程组(homogeneous systems)是指,Ax=0Ax=0Ax = 0,其中AAA是m∗n" role="presentation" style="position: relative;">m∗nm∗nm*n矩阵而000是Rm" role="presentation" style="position: relative;">RmRmR^m中的零向量.这样的方程至少有一个解,即x=0x=0x=0,这个解称为它的平凡解(trival solution).而重要的是研究它是否有非凡解(nontrivial solution),即满足Ax=0Ax=0Ax=0的非零向量xxx.
齐次方程Ax=0" role="presentation" style="position: relative;">Ax=0Ax=0Ax =0有非凡解,当且仅当方程至少有一个自由变量.
齐次方程Ax=0Ax=0Ax=0总可表示为Span{v1,...,vp}Span{v1,...,vp}Span\{v_1,...,v_p\},其中v1,...,vpv1,...,vpv_1,...,v_p是适当的解向量.
若唯一解释零向量,则解集就是$Span{0},
若方程仅有一个自由变量,解集是通过原点一条直线,
若有两个自由变量,解集是一个平面.
非齐次线性方程组
(nonhomogeneous systems)
设方程Ax=bAx=bAx = b对某个bbb是相容的,p" role="presentation" style="position: relative;">ppp为一个特解,则Ax=bAx=bAx=b的解集是所有形如w=p+vhw=p+vhw = p + v_h的向量的集,其中vhvhv_h是齐次方程Ax=0Ax=0Ax=0的任意一个解.
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