Kruskal算法最小生成树

Kruskal算法

Kruskal的由来
Prim算法利用了MST的性质：假设N= (V,E)是一个连通图，U是顶点集V的一个非空子集，若（u，v）是一条最小权值的边，其中u属于U,v属于V-U,则必存在一颗包含（u，v）的最小生成树。
Kruskal算法的实现
克鲁斯卡尔算法的构造过程
假设连通网N=(V, E),将N中的边按权值从小到大的顺序排列。

①初始状态为只有n个顶点而无边的非连通图T=(v, {}),图中每个顶点自成一个连通分量。

②在E中选择权值最小的边,若该边依附的顶点落在中不同的连通分量上(即不形成间路),则将此边加入到工中,否则舍去此边而选择下一条权值最小的边。

(3) 重复②,直至T中所有顶点都在同一连通分量上为止。
辅助数组：

     //辅助数组typedef struct{string head;//边的起点string tail;//边的终点int weight;//边的权值}Edge[MVNum],EDGE;int VexSet[MVNum];//标识各个顶点所属的连通分量//辅助数组

图例

Kruskal算法的实现步骤
（1）将数组Edge中的元素按权值从小到大排序。
（2）依次查看数组Edge中的边，循环执行一下操作：
- 依次从排好序的数组Edge中选出一条边（U1,U2）;
- 在Vexset中分别查找v1,v2所在的连通分量vs1 vs2，进行判断；
  - 如果vs1 vs2不等，表明所选的两个顶点所属不同的连通分量，输出此边，并合并vs1 vs2的连通分量。（也就是没有形成闭环）
  - 如果vs1 vs2相等，表明所选的两个顶点属于同一个连通分量属于同一个连通分量，舍去此边而选择下一条权值最小的边。（形成了闭环）
运行结果
实现代码
（邻接矩阵和邻接表分别实现）

 #include<iostream>#include<string>using namespace std;#define OK 1#define ERROR 0#define MAXint 32767 //表示无穷大#define MVNum 100  //最大顶点数//邻接矩阵的结构typedef struct{string vexs[MVNum];//顶点表int arcs[MVNum][MVNum];//邻接矩阵，也就是表示边的权值int vexnum, arcnum;//图的顶点数和边的个数}AMGraph;//邻接矩阵的结构//邻接表的结构typedef struct ArcNode {//边结点int adjvex;//该边所指向的顶点的位置struct  ArcNode* nextarc;//指向下一条边的指针int info;//和边相关的信息}ArcNode;typedef struct {//顶点信息string data;ArcNode* firstarc;//指向第一条依附该顶点的边的指针}VNode, AdjList[MVNum];typedef struct//邻接表{AdjList vertices;//顶点信息int vexnum, arcnum;//图的当前顶点数和边数}ALGraph;//邻接表的结构int Locate(ALGraph G, string v)//Locate重载{for (int i = 0; i < G.vexnum; i++){if (G.vertices[i].data == v){return i;}}return -1;}//辅助数组typedef struct{string head;//边的起点string tail;//边的终点int weight;//边的权值}Edge[MVNum],EDGE;int VexSet[MVNum];//标识各个顶点所属的连通分量//辅助数组Edge edge;//查询结点位置int Locate(AMGraph G, string v){for (int i = 0; i < G.vexnum; i++){if (G.vexs[i] == v){return i;}}return -1;}//查询结点位置//创建邻接矩阵int CreateUDN(AMGraph& G)//无向图的构造{cout << "请输入图的顶点数和边数：";cin >> G.vexnum >> G.arcnum;cout << "请输入各点的信息：";for (int i = 0; i < G.vexnum; i++){cin >> G.vexs[i];}for (int i = 0; i < G.vexnum; i++)//初始化边的权值为MAXINT{for (int j = 0; j < G.vexnum; j++){G.arcs[i][j] = MAXint;}}cout << "各边的顶点信息和权值：";for (int k = 0; k < G.arcnum; k++)//构造邻接矩阵{string v1, v2;int w;//边的两个顶点以及权值cin >> v1 >> v2 >> w;edge[k] = { v1,v2,w };int i = Locate(G, v1);//找到点的位置int j = Locate(G, v2);G.arcs[i][j] = w;//赋予权值G.arcs[j][i] = G.arcs[i][j];}return OK;}//创建邻接矩阵//创建邻接表int CreateUDG(ALGraph& G){cout << "请输入图的顶点数和边数：";cin >> G.vexnum >> G.arcnum;//输入顶点数和边数cout << "请输入各顶点的信息：";for (int i = 0; i < G.vexnum; i++)//初始化顶点信息{cin >> G.vertices[i].data;//输入顶点的信息G.vertices[i].firstarc = NULL;//firstarc置空}cout << "请输入各边的两顶点信息和权值：";for (int k = 0; k < G.arcnum; k++){string v1, v2;int weight;//权值cin >> v1 >> v2 >> weight;//输入一条边依附的两个顶点edge[k] = { v1,v2,weight };int i = Locate(G, v1);int j = Locate(G, v2);ArcNode* p1 = new ArcNode;p1->info = weight;p1->adjvex = j;p1->nextarc = G.vertices[i].firstarc;G.vertices[i].firstarc = p1;ArcNode* p2 = new ArcNode;p2->info = weight;p2->adjvex = i;p2->nextarc = G.vertices[j].firstarc;G.vertices[j].firstarc = p2;}return OK;}//创建邻接表void Sort(Edge &edge,int len){for (int i = 0; i < len-1; i++){for (int j = i + 1; j < len; j++){if (edge[i].weight > edge[j].weight){EDGE d = edge[i];edge[i] = edge[j];edge[j] = d;}}}}//Kruskal最小生成树void MiniSpanTree_Kruskal(AMGraph G){Sort(edge, G.arcnum);//将数组edge中的元素按权值大小从小到大排序for (int i = 0; i < G.vexnum; i++)//辅助数组，表示各顶点自成一个连通分量{VexSet[i] = i;}for (int i = 0; i < G.arcnum; i++){int head = Locate(G, edge[i].head);//head为边的始点Head的下标int tail = Locate(G, edge[i].tail);//tail为边的始点Tail的下标int v1 = VexSet[head];//获取边Edge[i]的始点所在的连通分量int v2 = VexSet[tail];//获取边Edge[i]的始点所在的连通分量if (v1 != v2)//边的两个顶点分属不同的连通分量{cout << edge[i].head << "-" << edge[i].tail << endl;//输出边的信息for (int j = 0; j < G.vexnum; j++)//合并连通分量{if (VexSet[j] == v2){VexSet[j] = v1;}}}}}//Kruskal最小生成树//Kruskal最小生成树void MiniSpanTree_Kruskal(ALGraph G){Sort(edge, G.arcnum);//将数组edge中的元素按权值大小从小到大排序for (int i = 0; i < G.vexnum; i++)//辅助数组，表示各顶点自成一个连通分量{VexSet[i] = i;}for (int i = 0; i < G.arcnum; i++){int head = Locate(G, edge[i].head);//head为边的始点Head的下标int tail = Locate(G, edge[i].tail);//tail为边的始点Tail的下标int v1 = VexSet[head];//获取边Edge[i]的始点所在的连通分量int v2 = VexSet[tail];//获取边Edge[i]的始点所在的连通分量if (v1 != v2)//边的两个顶点分属不同的连通分量{cout << edge[i].head << "-" << edge[i].tail << endl;//输出边的信息for (int j = 0; j < G.vexnum; j++)//合并连通分量{if (VexSet[j] == v2){VexSet[j] = v1;}}}}}int main(){ALGraph G;CreateUDG(G);cout << "请输入最小生成树的起点";string v;cin >> v;MiniSpanTree_Kruskal(G);return 0;}

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