1.关联分析

关联分析主要作用为对系统的因素进行分析，其主要作用为分辨因素中哪些因素对系统的影响是显著的，哪些影响是次要的。通常而言因素分析的主要方式为回归分析等，但其存在数据量要求大，计算量大等诸多问题，为克服以上问题，可采用关联分析进行系统分析。

数据变换方法

在进行系统分析之前，应对原始数据进行数据变换处理，以消除量纲。

数据变换的定义：

设有序列

x = ( x ( 1 ) , x ( 2 ) , ⋯   , x ( n ) ) x=(x(1), x(2), \cdots, x(n))x=(x(1),x(2),⋯,x(n))

则称映射：

f : x → y f: x \rightarrow yf:x→y

f ( x ( k ) ) = y ( k ) , k = 1 , 2 , ⋯   , n f(x(k))=y(k), \quad k=1,2, \cdots, nf(x(k))=y(k),k=1,2,⋯,n

为序列x xx到序列y yy的数据变换。

常见的数据变换方法有：

(1)初始化变换：

f ( x ( k ) ) = x ( k ) x ( 1 ) = y ( k ) , x ( 1 ) ≠ 0 f(x(k))=\frac{x(k)}{x(1)}=y(k), \quad x(1) \neq 0f(x(k))=x(1)x(k)​=y(k),x(1)​=0

(2)均值化变换：

f ( x ( k ) ) = x ( k ) x ˉ = y ( k ) , x ˉ = 1 n ∑ k = 1 n x ( k ) f(x(k))=\frac{x(k)}{\bar{x}}=y(k), \quad \bar{x}=\frac{1}{n} \sum_{k=1}^{n} x(k)f(x(k))=xˉx(k)​=y(k),xˉ=n1​∑k=1n​x(k)

(3)归一化变换：

f ( x ( k ) ) = x ( k ) x 0 = y ( k ) f(x(k))=\frac{x(k)}{x_{0}}=y(k)f(x(k))=x0​x(k)​=y(k) 等。

关联分析

选取参考数列，一般为时间序列：

x 0 = { x 0 ( k ) ∣ k = 1 , 2 , ⋯   , n } = ( x 0 ( 1 ) , x 0 ( 2 ) , ⋯   , x 0 ( n ) ) x_{0}=\left\{x_{0}(k) \mid k=1,2, \cdots, n\right\}=\left(x_{0}(1), x_{0}(2), \cdots, x_{0}(n)\right)x0​={x0​(k)∣k=1,2,⋯,n}=(x0​(1),x0​(2),⋯,x0​(n))

设有m mm个比较数列：

x i = { x i ( k ) ∣ k = 1 , 2 , ⋯   , n } = ( x i ( 1 ) , x i ( 2 ) , ⋯   , x i ( n ) ) , i = 1 , 2 , ⋯   , m x_{i}=\left\{x_{i}(k) \mid k=1,2, \cdots, n\right\}=\left(x_{i}(1), x_{i}(2), \cdots, x_{i}(n)\right), \quad i=1,2, \cdots, mxi​={xi​(k)∣k=1,2,⋯,n}=(xi​(1),xi​(2),⋯,xi​(n)),i=1,2,⋯,m

则比较数列x i x_{i}xi​对参考数列x 0 x_{0}x0​在k kk时刻的关联系数为：

ξ i ( k ) = min ⁡ s min ⁡ t ∣ x 0 ( t ) − x s ( t ) ∣ + ρ max ⁡ s max ⁡ t ∣ x 0 ( t ) − x s ( t ) ∣ ∣ x 0 ( k ) − x i ( k ) ∣ + ρ max ⁡ s max ⁡ t ∣ x 0 ( t ) − x s ( t ) ∣ \xi_{i}(k)=\frac{\min _{s} \min _{t}\left|x_{0}(t)-x_{s}(t)\right|+\rho \max _{s} \max _{t}\left|x_{0}(t)-x_{s}(t)\right|}{\left|x_{0}(k)-x_{i}(k)\right|+\rho \max _{s} \max _{t}\left|x_{0}(t)-x_{s}(t)\right|}ξi​(k)=∣x0​(k)−xi​(k)∣+ρmaxs​maxt​∣x0​(t)−xs​(t)∣mins​mint​∣x0​(t)−xs​(t)∣+ρmaxs​maxt​∣x0​(t)−xs​(t)∣​

其中，ρ \rhoρ为分辨系数，max ⁡ s max ⁡ t ∣ x 0 ( t ) − x s ( t ) ∣ \max _{s} \max _{t} \mid x_{0}(t)-x_{s}(t)\midmaxs​maxt​∣x0​(t)−xs​(t)∣与min ⁡ s min ⁡ t ∣ x 0 ( t ) − x s ( t ) ∣ \min _{s} \min _{t} \mid x_{0}(t)-x_{s}(t)\midmins​mint​∣x0​(t)−xs​(t)∣分别为两数列之间的两级最小差与两级最大差。

由于通过上述公式每个数列的每个时刻都能求出一个关联数，为防止信息过于分散，定义比较数列x i x_{i}xi​对参考数列x 0 x_{0}x0​的关联度r i r_{i}ri​：

r i = 1 n ∑ k = 1 n ξ i ( k ) r_{i}=\frac{1}{n} \sum_{k=1}^{n} \xi_{i}(k)ri​=n1​∑k=1n​ξi​(k)

2.实例

通过对某健将级女子铅球运动员的跟踪调查，获得其1982-1986年每年最好成绩以及16项专项素质和身体素质的时间序列资料，试对此铅球运动员的专项成绩进行因素分析。

首先对原始数据进行初始化处理：

y = ( 1 , x ( 2 ) x ( 1 ) , ⋯   , x ( n ) x ( 1 ) ) y=\left(1, \frac{x(2)}{x(1)}, \cdots, \frac{x(n)}{x(1)}\right)y=(1,x(1)x(2)​,⋯,x(1)x(n)​)

同时注意到最后两个数列为跑步时间，数值减少时意味着运动员水平的进步，因此应采取公式：

y i = ( 1 , x i ( 1 ) x i ( 2 ) , x i ( 1 ) x i ( 3 ) , x i ( 1 ) x i ( 4 ) , x i ( 1 ) x i ( 5 ) ) , i = 15 , 16 y_{i}=\left(1, \frac{x_{i}(1)}{x_{i}(2)}, \frac{x_{i}(1)}{x_{i}(3)}, \frac{x_{i}(1)}{x_{i}(4)}, \frac{x_{i}(1)}{x_{i}(5)}\right), i=15,16yi​=(1,xi​(2)xi​(1)​,xi​(3)xi​(1)​,xi​(4)xi​(1)​,xi​(5)xi​(1)​),i=15,16

取分辨系数ρ = 0.5 \rho=0.5ρ=0.5，计算各数列关联度Matlab程序如下：

clc,clear

load x.txt %把原始数据存放在纯文本文件 x.txt 中

for i=1:15

x(i,:)=x(i,:)/x(i,1); %标准化数据

end

for i=16:17

x(i,:)=x(i,1)./x(i,:); %标准化数据

end

data=x;

n=size(data,2); %求矩阵的列数，即观测时刻的个数

ck=data(1,:); %提出参考数列

bj=data(2:end,:); %提出比较数列

m2=size(bj,1); %求比较数列的个数

for j=1:m2

t(j,:)=bj(j,:)-ck;

end

mn=min(min(abs(t'))); %求小差

mx=max(max(abs(t'))); %求大差

rho=0.5; %分辨系数设置

ksi=(mn+rho*mx)./(abs(t)+rho*mx); %求关联系数

r=sum(ksi')/n %求关联度

[rs,rind]=sort(r,'descend') %对关联度进行排序

利用python解决：

import numpy as np

#进行关联度分析

data = open('athlete score.txt').readlines()

#数据初始化处理

for lines in range(15):

data[lines] = list(eval(data[lines]))

for i in range(1,len(data[lines])+1):

data[lines][-i] = data[lines][-i] / data[lines][0]

for lines in range(1,3):

data[-lines] = data[-lines].replace(",,",'.')

data[-lines] = list(eval(data[-lines]))

for i in range(1,len(data[-lines])+1):

data[-lines][-i] = data[-lines][0] / data[-lines][-i]

#提出参考数列、比较数列

x0 = np.array(data[0])

xi = np.array(data[1:])

t = xi - x0

#求两级最大差、两极最小差

maxi,mini = np.max(np.abs(t)),np.min(np.abs(t))

rho = 0.5

#求关联系数、关联度

kesi = ((mini + rho*maxi) / (np.abs(t) + rho*maxi)) / np.size(x0)

ri = kesi.sum(axis=1)

print(ri)

程序运行结果如下：

对比Matlab结果：

参考文献

司守奎, 徐珂文, 李日华. 数学建模算法与程序[J]. 海军航空工程学院, 2007, 9: 95-98.