HDU - 5073 Galaxy 思维+方差性质

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题意：

一共有N个星球，其星球围绕着其中心旋转，现在你可以去掉最多K个星球，使得其最后的：∑ni=1d2i\sum_{i=1}^n d_i^2最小其中di表示第i个点到中心的距离。当然随着点的去掉，中心一定是不同的。

思路:

1.首先设此时的中心的位置为x,那么上述式子为： ∑ni=1(ai−x)2\sum_{i=1}^n (a_i-x)^2 展开之后得到 n∗x2−2∗x∗∑ni=1ai+∑ni=1a2i n*x^2 -2*x*\sum_{i =1}^n a_i +\sum_{i=1}^n a_i^2 。现在我们要求这个的最小值,发现这是一个一元二次函数,开口朝上,最小值就在对称轴处,为 ∑ni=1ain \frac{\sum_{i=1}^n a_i}{n} 不同的只是,随着去掉一些点n的个数会变.

2.根据上面的式子我们发现中心x即为n个数的平均值处.进而发现 ∑ni=1(ai−x)2\sum_{i=1}^n (a_i-x)^2其实是一个方差.
根据方差存在的性质,点数越少,越密集,方差值越小,越稳定.从而发现其实这个题一定是要去掉k个点才能最优的,并且去掉的点要放在中心位置使得对答案没有贡献.

3.为了使点数更密集,那么我们留下的n-k个点一定要是连续的了,我们就对点排序,然后维护两个前缀和求个最优即可.

这个过程有很多坑点,比如当n == k时

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
const int maxn = 5e5+5;
typedef long long ll;
int n,k;
ll pos[maxn],sum1[maxn],sum2[maxn];
const ll inf = 1e18;
int main()
{int _;cin>>_;while(_--){scanf("%d %d",&n,&k);for(int i = 1;i <= n;++i) scanf("%lld",&pos[i]);sort(pos+1,pos+1+n);//排序 sum1[0] = sum2[0] = 0;for(int i = 1;i <= n;++i){sum1[i] = sum1[i-1]+pos[i];sum2[i] = sum2[i-1]+pos[i]*pos[i];}double ans = inf;for(int i = n - k;i <= n;++i){ll s1 = sum1[i] - sum1[i-(n-k)];ll s2 = sum2[i] - sum2[i-(n-k)];double mid = s1*1.0/(n-k);double I = (n-k)*mid*mid - 2*mid*s1 + s2;ans = min(I,ans); }if(n == k) ans = 0;//坑点 printf("%.10f\n",ans);}return 0;
}

方差性质：
1.方差刻画了随机变量的取值对于其数学期望的离散程度。（标准差、方差越大，离散程度越大)
2.若X的取值比较集中，则方差D(X)较小,若X的取值比较分散，则方差D(X)较大。
3.点数越少,越密集,方差值越小,越稳定
各种分布

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