三维空间中两次旋转等效为一次旋转的计算方法(四元数)

首先介绍一下四元数：
四元数是一种高阶复数，其形式如下：
H = s p a n { 1 , i , j , k } \mathbb{H} = span\{1,i,j,k\} H=span{1,i,j,k}, q = a + b i + c j + d k q = a + bi+cj+dk q=a+bi+cj+dk
其中 i i i, j j j, k k k, 为虚数，其运算方法如下：
i 2 = − 1 i^2 = -1 i2=−1, j 2 = − 1 j^2 = -1 j2=−1, k 2 = − 1 k^2 = -1 k2=−1
i × j = k i \times j = k i×j=k, i × k = − j i \times k = -j i×k=−j, j × k = i j \times k = i j×k=i, j × i = − k j \times i = -k j×i=−k, k × i = j k \times i = j k×i=j, k × j = − i k \times j = -i k×j=−i.
i × 1 i \times 1 i×1 = 1 × i 1 \times i 1×i = i i i, j × 1 j \times 1 j×1 = 1 × j 1 \times j 1×j = j j j, k × 1 k \times 1 k×1 = 1 × k 1 \times k 1×k = k k k
（与向量叉乘较为类似）
q = a + b i + c j + d k q = a + bi +cj +dk q=a+bi+cj+dk 的共轭四元数：
q ∗ = a − b i − c j − d k q ^* = a - bi - cj - dk q∗=a−bi−cj−dk
满足： q q ∗ = a 2 − ( b i + c j + d k ) 2 = a 2 + b 2 + c 2 + d 2 − b c k + b c k − c d i + c d i − b d j + b d j = a 2 + b 2 + c 2 + d 2 = ∣ q ∣ 2 q q^* = a^2 - (bi + cj + dk)^2 = a^2 + b^2 + c^2 +d^2 - bck + bck - cdi + cdi -bdj + bdj = a^2 +b^2 + c^2+d^2 = |q|^2 qq∗=a2−(bi+cj+dk)2=a2+b2+c2+d2−bck+bck−cdi+cdi−bdj+bdj=a2+b2+c2+d2=∣q∣2
其中 ∣ q ∣ |q| ∣q∣ 为 q q q 模长，其定义如下
∣ q ∣ = a 2 + b 2 + c 2 + d 2 |q| = \sqrt{a^2+b^2+c^2+d^2} ∣q∣=a2+b2+c2+d2
两个不同四元数相乘：
q 1 = a 1 + b 1 i + c 1 j + d 1 k q_1 = a_1 + b_1i +c_1j +d_1k q1=a1+b1i+c1j+d1k
q 2 = a 2 + b 2 i + c 2 j + d 2 k q_2 = a_2 + b_2i +c_2j +d_2k q2=a2+b2i+c2j+d2k
q 1 q 2 = a 1 a 2 − b 1 b 2 − c 1 c 2 − d 1 d 2 + a 1 b 2 i + a 1 c 2 j + a 1 d 2 k + a 2 b 1 i + a 2 c 1 j + a 2 d 1 k + ( c 1 d 2 − c 2 d 1 ) i + ( d 1 b 2 − d 2 b 1 ) j + ( b 1 c 2 − c 1 b 2 ) k q_1q_2 = a_1a_2 - b_1b_2 - c_1c_2 - d_1d_2 + a_1b_2i + a_1c_2j +a_1d_2k + a_2b_1i +a_2c_1j +a_2d_1k +(c_1d_2-c_2d_1)i + (d_1b_2-d_2b_1)j + (b_1c_2-c_1b_2)k q1q2=a1a2−b1b2−c1c2−d1d2+a1b2i+a1c2j+a1d2k+a2b1i+a2c1j+a2d1k+(c1d2−c2d1)i+(d1b2−d2b1)j+(b1c2−c1b2)k
如果我们将 u ⃗ = ( b 1 i + c 1 j + d 1 k ) \vec u = (b_1i+c_1j+d_1k) u =(b1i+c1j+d1k)和 v ⃗ = ( b 2 i + c 2 j + d 2 k ) \vec v =(b_2i + c_2j +d_2k) v =(b2i+c2j+d2k) 分别视为两个向量，其中 ( i , j , k ) (i,j,k) (i,j,k)构成正交基矢量，则有：
q 1 q 2 = a 1 a 2 − u ⃗ ⋅ v ⃗ + Q ( a 1 v ⃗ + a 2 u ⃗ + u ⃗ × v ⃗ ) q_1q_2 = a_1a_2 - \vec u \cdot \vec v + Q(a_1 \vec v +a_2 \vec u + \vec u \times \vec v) q1q2=a1a2−u ⋅v +Q(a1v +a2u +u ×v )
（其中Q()是将单位向

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