【BZOJ1061】【NOI2008】志愿者招募

题面

BZOJ

题解

我们设每类志愿者分别招募了\(B[i]\)个

那么，我们可以得到一系列的方程

\[\sum_{S[i]\leq x\leq T[i]}B[i]\geq A[x]\]

一共\(n\)天，所以是\(n\)个方程

因为有不等式让我们很不爽，所以换成等式。

这里，设\(y[i]\)表示第\(i\)天多招募的人数

这样，方程变成了

\[(\sum_{S[i]\leq x\leq T[i]}B[i])-y[i]=A[x]\]

所以我们得到了一个方程组
\[\begin{cases}0&=0\\\sum_{S[i]\leq 1\leq T[i]}B[i]-y[1]&=A[1]\\ \sum_{S[i]\leq 2\leq T[i]}B[i]-y[2]&=A[2]\\...\\\sum_{s[i]\leq n\leq T[i]}B[i]-y[n]&=A[n]\\0&=0\end{cases}\]
对于每一类志愿者，他一定出现在连续的一段

如果我们对于相邻的两个方程做差，得到\(n-1\)个方程，

这样每一类志愿者就只会在两个方程中出现过

所以，方程组变成了

\[(\sum_{S[i]=x}B[i]-\sum_{T[i]+1=x}B[i])-y[x]+y[x-1]=A[x]-A[x-1]\]

这样一个等式很像流量平衡

所以我们考虑如何连边？

我们把\(+\)看成流入，\(-\)看成流出

这样子相当于每天就是一个点

前面两个\(\sum\)的差，相当于从\(S[i]\)流入，向\(T[i]+1\)流出

也就是如果这个点作为一类志愿者的\(S[i]\)那么他就会流入一定的流

如果作为一个志愿者的\(T[i]+1\)，那么它就要流出去，显然是流到对应的\(S[i]\)去

而\(-y[x]+y[x-1]\)相当于从前一天多出来的志愿者可以流入，然后可以向后一天流出

右边如果非零的话，可以看做从源（汇）点流入（出）

如果大于零则证明流入多于流出，则多出来的流流向汇点

如果小于零则证明流出多于流入，则多出来的流从源点流入

这样建图就可以跑费用流了

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#include<cstdlib>
#include<cstring>
#include<cmath>
#include<algorithm>
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#include<map>
#include<vector>
#include<queue>
using namespace std;
#define ll long long
#define RG register
#define MAX 1111
#define inf 1000000000
inline int read()
{RG int x=0,t=1;RG char ch=getchar();while((ch<'0'||ch>'9')&&ch!='-')ch=getchar();if(ch=='-')t=-1,ch=getchar();while(ch<='9'&&ch>='0')x=x*10+ch-48,ch=getchar();return x*t;
}
int n,m,a[MAX];
struct Line{int v,next,w,fy;}e[50000];
int h[MAX],cnt=2;
inline void Add(int u,int v,int w,int fy)
{e[cnt]=(Line){v,h[u],w,fy};h[u]=cnt++;e[cnt]=(Line){u,h[v],0,-fy};h[v]=cnt++;
}
bool vis[MAX];
int S,T;
ll Cost,dis[MAX];
bool SPFA(int S,int T)
{memset(vis,0,sizeof(vis));memset(dis,63,sizeof(dis));queue<int> Q;Q.push(S);dis[S]=0;vis[S]=true;while(!Q.empty()){int u=Q.front();Q.pop();for(int i=h[u];i;i=e[i].next){if(!e[i^1].w)continue;int v=e[i].v;if(dis[v]>dis[u]-e[i].fy){dis[v]=dis[u]-e[i].fy;if(!vis[v])vis[v]=true,Q.push(v);}}vis[u]=false;}if(dis[T]>=1e18)return false;return true;
}
int dfs(int u,int flow)
{if(u==T||!flow)return flow;int ret=0;vis[u]=true;for(int i=h[u];i;i=e[i].next){int v=e[i].v;if(!vis[v]&&e[i].w&&dis[v]==dis[u]-e[i].fy){int d=dfs(v,min(flow,e[i].w));e[i].w-=d;e[i^1].w+=d;flow-=d;ret+=d;if(!flow)break;}}return ret;
}
int main()
{n=read();m=read();S=0;T=n+2;for(int i=1;i<=n;++i)a[i]=read();for(int i=1;i<=n+1;++i){if(a[i]-a[i-1]>=0)Add(i,T,a[i]-a[i-1],0);else Add(S,i,a[i-1]-a[i],0);if(i<=n)Add(i,i+1,inf,0);}for(int i=1;i<=m;++i){int S=read(),T=read(),C=read();Add(T+1,S,inf,C);}while(SPFA(T,S))Cost+=1ll*dis[S]*dfs(S,inf);printf("%lld\n",Cost);return 0;
}