CF Round Div.3-E Obtain a Permutation //数学规律

题目链接

http://codeforces.com/contest/1294/problem/E

题意

给你一个 n × m n×m n×m 的矩阵(元素从 1 − n × m 1-n×m 1−n×m )，每次操作：

(1)可以改变位于某一行某一列的数的值

(2)将某一列数循环向上移位一步

求用最少的操作次数使得矩阵变成下图这样：

思路：

显然我们可以一列一列的处理，不妨从左到右一列一列处理。先对原矩阵处理，使所有元素减一，使范围调至 0 到 n × m − 1 0到n×m-1 0到n×m−1 方便后面取余操作，设原矩阵为： a [ i ] [ j ] a[i][j] a[i][j]。

对于第 j j j 列，其元素应该为： j , j + m , j + 2 ∗ m , . . . , j + ( n − 1 ) ∗ m j,j+m,j+2m,...,j+(n-1)m j,j+m,j+2∗m,...,j+(n−1)∗m ，原矩阵可能会有一些非法的数( a [ i ] [ j ] % m ! = j a[i][j]\%m!=j a[i][j]%m!=j )，或者是合法的数在非法的位置上( a [ i ] [ j ] m ! = j \frac{a[i][j]}{m}!=j ma[i][j]!=j)，我们只需要关心合法的数即可，因为总数固定。我们需要知道哪些合法的数在合法的位置上，或者是哪些合法的数需要向上循环移位几步才能到合法的位置上。不妨定义一个数组 s u m sum sum ， s u m [ k ] sum[k] sum[k] 表示：需要向上循环移位 k k k 步到合法位置的元素个数。这样 m i n ( n − s u m [ k ] + k ) ( 0 < = k < = n − 1 ) min(n-sum[k]+k)(0<=k<=n-1) min(n−sum[k]+k)(0<=k<=n−1)即为答案 ( 可以理解为：将合法的这 s u m [ k ] sum[k] sum[k] 个数先通过循环向上移位 k k k 步都到合法的位置上，剩下的 n − s u m [ k ] n-sum[k] n−sum[k] 个数(也对应 n − s u m [ k ] n-sum[k] n−sum[k] 个位置)不管是啥数，全部通过操作(1) 变为合法位置上的合法数)。

参考代码

#include <iostream>
#include <cstdio>
#include <cstring>
#include <algorithm>
#include <queue>
#include <unordered_set>
using namespace std;
typedef long long ll;
typedef pair<int,int> P;
const int maxn=2e5+10;
const int inf=0x3f3f3f3f;
#define pb push_back
#define ft first
#define sd second
#define ms(x,y) memset(x,y,sizeof(x))
int q,n,m,len;
int a[maxn];//矩阵压缩成一维
int sum[maxn];
vector<int> v;//某一列的数
int solve(int y){//处理第y列for(int i=0;i<n;i++){if(v[i]%m==y){//合法的数int pos=v[i]/m;//它该在的位置if(pos<n)sum[(i+n-pos)%n]++;////当前位置为i,需要移动(n+pos-i)%n步才能到合法位置上}}int cnt=n-sum[0];for(int i=1;i<n;i++){//统计最小结果cnt=min(cnt,n-sum[i]+i);}return cnt;
}
int main()
{scanf("%d%d",&n,&m);len=n*m;for(int i=0;i<len;i++){scanf("%d",&a[i]);a[i]--;//调整范围}int ans=0;for(int i=0;i<m;i++){v.clear();for(int j=0;j<n;j++){v.pb(a[j*m+i]);//某一列的数sum[j]=0;//初始化sum数组}ans+=solve(i);//统计结果}cout<<ans<<'\n';return 0;
}

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求用最少的操作次数使得矩阵变成下图这样：

思路：

显然我们可以一列一列的处理，不妨从左到右一列一列处理。先对原矩阵处理，使所有元素减一，使范围调至 0 到 n × m − 1 0到n×m-1 0到n×m−1 方便后面取余操作，设原矩阵为： a [ i ] [ j ] a[i][j] a[i][j]。

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