两个字符串的最长公共子序列长度_【面试】动态规划-之最长公共子序列、最长公共子串问题...

先来说明下什么是最长公共子序列，什么是是最长公共子串，举一个实际例子，myblogs与belong，最长公共子序列为blog（myblogs, belong），最长公共子串为lo（myblogs, belong）也就是说子串要求在原字符串中是连续的，而最长公共子序列则并不要求连续。

最长公共子序列问题

问题描述

给两个字条串X="ABCBDAB",Y="BDCABA",求这两个字符串的最长公共子序列。

问题分析

这里只求这个公共子序列的长度。利用动态规划的思想分析。定义一个前缀概念：

给定一个序列X = <x1,x2 ,..., xm>，对于i = 0,1,...,m，定义X的第i前缀为Xi = <x1,x2 ,..., xi>。例如，若 X = <A,B,C,B,D,A,B>，则 X4 = <A,B,C,B>，X0为空串。

则减小问题的规模，X、Y都去掉一个字符时，他们的最长公共子串和X与Y的最长公共子串有什么关系呢?

令X = <x0,x1,x2 ,...>和Y = <y0,y1,y2 ,...> 为两个序列，Z =<z0,z1,z2 ,...为X和Y的任意LCS。c[i,j]表示Xi和Yj的LCS的长度,则： - 如果Xi = Yj，则 c[i,j]=c[i-1,j-1]+1。 - 如果 Xi ≠ Yj，则 c[i,j]=max(c[i-1,j],c[i,j-1])

此时要求i>0,j>0,即X、Y的字符个数都至少为两个，因为上面的递推公式都用到了c[i-1,j-1]

考虑初始条件，如果X,Y有一个为空串，则就没有公共子序列了。

如果X,Y有一个为只含一个字符的子符串，则公共子串要么是没有，可以看成是长度为0，要么是就是这个字符了其长度为1.

按这个思路，先计算初始条件，然后利用递推公式计算所有值，代码实现如下。

代码实现

int lcs(string word1, string word2) {int size1 = word1.size();int size2 = word2.size();int max_length=0;int dp[size1][size2];//初值比较，字符串的第一个字符if(word1[0] == word2[0]){dp[0][0] =1;max_length = 1;}else{dp[0][0] =0;}//字符串word2的一个字符，各word1的所有字符for(int i = 1,j=0; i<size1; i++){if(word1[i] == word2[j]){dp[i][j] = 1;max_length = 1;}else{dp[i][j] = dp[i-1][j];}}//字符串word1的一个字符，各word2的所有字符for(int j=1,i=0; j<size2; j++){if(word1[i] == word2[j]){dp[i][j] = 1;max_length = 1;}else{dp[i][j] = dp[i][j-1];}}//利用上面的初始化值来迭代for(int i =1; i<size1; i++){for(int j=1; j<size2;j++){dp[i][j] =0;if(word1[i] == word2[j]){dp[i][j] = dp[i-1][j-1] +1;}else{dp[i][j] = max(dp[i-1][j],dp[i][j-1]);}if(dp[i][j] > max_length ){max_length = dp[i][j] ;}}}return max_length;
}

最长公共子串问题

这里以leetcode上的一个最长公共子数组问题来说明。

问题描述

给数组A,B,求A,B的最长公共子数组，如 Input: A: [1,2,3,2,1] B: [3,2,1,4,7] Output: 3 解释，最长公共子数组为 [3, 2, 1]。

问题分析

和最长公共子序列问题类似，不过c[i][j]定义应该是稍有不同的，这里的c[i][j],表示A[0...i]和B[0...j]的最长公共子串，且此公共子串中一定包含A[i],B[j]的，最长公共子序列中的定义可以不包括A[i],B[j]的。

此时的递推公式也稍有不同了：

如果A[i] = B[j]，则 c[i,j]=c[i-1,j-1]+1。
如果 A[i] ≠ B[j]，则 c[i,j]=0

代码实现

int findLength(vector<int>& A, vector<int>& B) {int asize=A.size();int bsize=B.size();int dp[asize][bsize];int max = 0;for(int i=0,j=0; i<asize; i++){if(A[i] == B[j]){dp[i][j] = 1;max = 1;}else{dp[i][j] = 0;}}for(int i=0,j=0; j<bsize; j++){if(A[i] == B[j]){dp[i][j] = 1;max = 1;}else{dp[i][j] = 0;}}for(int i=1; i<asize; i++){for(int j = 1; j<bsize; j++){if(A[i] == B[j]){dp[i][j] = dp[i-1][j-1] + 1;}else{dp[i][j] = 0;}if(dp[i][j] > max){max = dp[i][j];}}}return max;
}

todo: - 补充c数组的表格 - 加求具体序列的方法