正题

题目大意

定义函数f(x)=Ax3+Bx2+Cx+Df(x)=Ax^3+Bx^2+Cx+Df(x)=Ax3+Bx2+Cx+D
然后给出一个序列，要求按顺序分成若干段。对于一段[L..R][L..R][L..R]，贡献为f(min{ai}(i∈[L..R]))f(min\{a_i\}(i\in[L..R]))f(min{ai}(i∈[L..R]))
然后要求所有段的贡献之和最大。

解题思路

我们考虑dpdpdp，设gig_igi表示将1∼i1\sim i1∼i分成若干段时的贡献，那么我们有gi=gj+wj+1,i(j<i)g_i=g_j+w_{j+1,i}(j< i)gi=gj+wj+1,i(j<i)
(wl,rw_{l,r}wl,r表示l∼rl\sim rl∼r这段范围的贡献)

但是时间复杂度为O(n2)O(n^2)O(n2)，显然不能胜任本题。

然后我们需要考虑用数据结构优化，我们发现对于每个aia_iai，但计算到gig_igi或以后时，它能影响的一定是k∼ik\sim ik∼i这段范围。那我们对于每个aia_iai，我们都计算出这个范围，我们发现这个范围其实就是在它前面的比它大的且与它最近的一个数，这个我们可以用双端链表O(nlogn)O(n\ log\ n)O(n log n)进行计算。

然后我们枚举kkk，然后用线段树维护gi+f(min{aj}(j∈[i..k]))g_{i}+f(min\{a_{j}\}(j\in[i..k]))gi+f(min{aj}(j∈[i..k]))的最大值即可。

时间复杂度O(nlog⁡n)O(n\log n)O(nlogn)

codecodecode

#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<algorithm>
#define ll long long
using namespace std;
const ll N=2e5+100,inf=1e18;
struct Tree_node{ll w,lazy;
};
struct Seq_node{Tree_node t[N*4]; void Build(ll x,ll l,ll r){t[x].lazy=-inf;if(l==r){t[x].w=-inf;return;}ll mid=(l+r)/2;Build(x*2,l,mid);Build(x*2+1,mid+1,r);t[x].w=max(t[x*2].w,t[x*2+1].w);}void downdata(ll x){if(t[x].lazy==-inf) return;t[x*2].w=t[x*2+1].w=t[x*2].lazy=t[x*2+1].lazy=t[x].lazy; t[x].lazy=-inf;}void Change(ll x,ll l,ll r,ll w,ll L,ll R){if(l==L&&r==R){t[x].w=w;t[x].lazy=w;return;}downdata(x);ll mid=(L+R)/2;if(r<=mid) Change(x*2,l,r,w,L,mid);else if(l>mid) Change(x*2+1,l,r,w,mid+1,R);else Change(x*2,l,mid,w,L,mid),Change(x*2+1,mid+1,r,w,mid+1,R);t[x].w=max(t[x*2].w,t[x*2+1].w);}ll Ask(ll x,ll l,ll r,ll L,ll R){if(l==L&&r==R)return t[x].w;downdata(x);ll mid=(L+R)/2;if(r<=mid) return Ask(x*2,l,r,L,mid);if(l>mid) return Ask(x*2+1,l,r,mid+1,R);return max(Ask(x*2,l,mid,L,mid),Ask(x*2+1,mid+1,r,mid+1,R));}
}T,T2;
ll n,A,B,C,D,prev[N],next[N],id[N],last[N],f[N],ans,a[N];
bool cMp(ll x,ll y)
{return a[x]>a[y];}
ll Val(ll x)
{return A*x*x*x+B*x*x+C*x+D;}
int main()
{//freopen("min.in","r",stdin);//freopen("min.out","w",stdout);scanf("%lld%lld%lld%lld%lld",&n,&A,&B,&C,&D);for(ll i=1;i<=n;i++){scanf("%lld",&a[i]);id[i]=i;}for(ll i=1;i<=n;i++)prev[i]=i-1,next[i]=i+1;sort(id+1,id+1+n,cMp);for(ll i=1;i<=n;i++){ll x=id[i];last[x]=prev[x];prev[next[x]]=prev[x];next[prev[x]]=next[x];}T.Build(1,0,n);T2.Build(1,0,n);T.Change(1,0,0,0,0,n);T2.Change(1,0,0,0,0,n);for(ll i=1;i<=n;i++){ll val=T2.Ask(1,last[i],i,0,n);T.Change(1,last[i],i,val+Val(a[i]),0,n);ans=T.t[1].w;T2.Change(1,i,i,ans,0,n);}printf("%lld",ans);
}

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