codeforces773 D. Perishable Roads（思维+最短路）

D. Perishable Roads

题意简述：一个 nnn 个点的完全图以 iii 为根节点时

询问能构造的树的 ∑d(x)\sum d(x)∑d(x) 最小是多少。

d(x)d(x)d(x)： xxx 到根节点边权值最小值

MOONPIE题解

首先有一个显而易见的错误贪心：

不妨假设以root\text{root}root为根节点重构树，定义u→vu\to vu→v这条路径是所有路径的最小值，则我们肯定希望这样构造路径：
root→u→v⇝others\text{root}\to u\to v\leadsto \text{others}root→u→v⇝others
也就是把其他所有点都往vvv上连（构成一棵树），这样其他点的代价都是wu→vw_{u\to v}wu→v，不难得出所求为wroot→u+(n−2)×wu→vw_{\text{root}\to u}+(n-2)×w_{u\to v}wroot→u+(n−2)×wu→v。
容易想到反例也就是如果wroot→uw_{\text{root}\to u}wroot→u非常非常大，则会不是最优值！！！

不过我们只需要找到一条路径root⇝u\text{root}\leadsto uroot⇝u 代替root→u\text{root}\to uroot→u，不难想到答案一定是这种情况：root⇝u→v⇝others\text{root}\leadsto u\to v\leadsto \text{others}root⇝u→v⇝others（其中root⇝u\text{root}\leadsto uroot⇝u是一条链而v⇝othersv\leadsto \text{others}v⇝others是一棵树）

对于链上路径的值有一个结论（详细可查看RingweEH）：

root→⋯→i→j→k→u→v\text{root}\to\dots\to i\to {j}\to k\to u\to vroot→⋯→i→j→k→u→v
这条链上的边权一定单调递减且只可能存在一例例外（即有可能wi→j≤wk→uw_{i\to j}\leq w_{k\to u}wi→j≤wk→u）

对于计算答案来说，树上的点v⇝othersv\leadsto \text{others}v⇝others对答案的贡献是(n−1−x)×wu→v(n-1-x)×w_{u\to v}(n−1−x)×wu→v而链上的点由于单调递减，只需要从root\text{root}root跑一边最短路即可由于不知道链上边的个数xxx只需要利用花费提前的思想，跑最短路前把每条边减去wu→vw_{u\to v}wu→v即可，对于例外情况特殊考虑一下即可。

#include<cstring>
#include<iostream>
#include<algorithm>
using namespace std;
using ll=long long;
constexpr int N=2010;
int g[N][N],n;
ll d[N];
bool st[N];
void dijkstra(int S)
{memset(d,0x3f,sizeof d);memset(st,0,sizeof st);d[S]=0;for(int i=1;i<=n;i++)//例外for(int j=1;j<=n;j++)d[i]=min(d[i],g[i][j]*2ll);for(int i=1;i<=n;i++){int t=-1;for(int j=1;j<=n;j++)if(!st[j]&&(t==-1||d[t]>d[j])) t=j;st[t]=1;for(int j=1;j<=n;j++) d[j]=min(d[j],d[t]+g[t][j]);}
}int main()
{ios::sync_with_stdio(false);cin.tie(nullptr);cout.tie(nullptr);cin>>n;int S=1,mn=0x3f3f3f3f;memset(g,0x3f,sizeof g);for(int i=1;i<=n;i++)for(int j=i+1;j<=n;j++){cin>>g[i][j];g[j][i]=g[i][j];if(mn>g[i][j]) mn=g[i][j],S=i;}for(int i=1;i<=n;i++)for(int j=1;j<=n;j++) g[i][j]-=mn;dijkstra(S); for(int i=1;i<=n;i++) cout<<1ll*(n-1)*mn+d[i]<<'\n';
}

要加油哦~

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