向量空间相关概念总结-基
张成空间
之前的向量空间一节已经说过:向量空间对向量的线性组合封闭(相加和数乘),所以,向量空间可以通过“向量+线性组合”构成。也可以说,这个向量空间由这些向量所张成
,反过来,这个向量空间就叫做这些向量的张成空间
。
比如向量组:
u、v、w三个向量的张成空间
等价向量组
如果有两个向量组,若其中一个向量组中的每一个向量都能由另一个向量组线性表示,则成这个向量组能被另一个向量组线性表示
,如果他俩能互相线性表示,那么就称这两个向量组等价
最大线性无关组
假设有个向量空间叫动物,它里面有[老人,小孩,猫,狗],这里面的小孩经过时间的线性变化会变成老人,所以它的最大线性无关组应该是[小孩,猫,狗]
秩
假设有个向量组A,如果A里面可以选出r个向量,这r个向量线性无关,且这r个向量如果再多加一个向量都会变成线性相关的,那么这r个向量就是A的一个最大线性无关组
,而最大无关组所含的向量个数r就叫做向量组A的秩
,记作rank(A)
,有事也记作R(A)
。
注意:只含有0向量的向量组没有最大无关组,规定它的秩为0。因为前面说过,任和一个向量组只要有0向量,那一定线性相关。
基
一个向量空间的最大线性无关组也是这个向量空间的一个基
注意:一个向量空间的基并不是唯一的,一般都是有多个。另外,选取不同的基,同位置的坐标不同
几何理解:基可以看作是坐标系
维度和秩的关系
向量空间的秩
,我们一般就叫做维度
向量维数与空间维度的关系
如图,P是一个三维向量,但是它也可以看成是在一个二维空间中,但是二维的向量不可能存在在三维或更高维的空间中,所以:
自然基
能让向量空间中的所有向量的坐标用这些基向量的倍数表示的基,叫做这个向量空间的自然基。比如,我们常用的二维向量空间的基:
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