保研复习——线性代数4：向量空间

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向量空间

1.n维向量（本质：有序数组）

n维列向量：n×1矩阵（默认n维向量一般指列向量）

n维行向量：1×n矩阵

含有限个向量的有序向量组与矩阵是一一对应的

2.向量组的线性相关性

向量组的线性组合

（懒得码字了，以下图片来源于网络和部门内学弟学妹们自己整理的学习资料。）

向量组的线性相关性

注意性质3与性质1的区别，\(T_{1}\)并非\(T_{2}\)的部分组。

线性相关、无关与线性表示的关系

注意：定理4.4中唯一性的证明（证明唯一性通常假设不唯一，再证明相等）

3.向量组的秩

等价向量组（反身性、对称性、传递性）

设有两个向量组\(T_{1}: \alpha _{1},\alpha _{2},\cdots,\alpha _{m}; T_{2}: \beta _{1},\beta _{2},\cdots,\beta _{m}\)，若向量组\(T_{1}\)中的每一个向量都可由向量组\(T_{2}\)线性表示，则称向量组\(T_{1}\)可由向量组\(T_{2}\)线性表示。又若向量组\(T_{1}\)和向量组\(T_{2}\)可以相互线性表示，则称向量组\(T_{1}\)和向量组\(T_{2}\)等价。

定理4.6证明要点：矩阵A经初等行变换化成B⇔ B=PA，P为可逆矩阵

讨论：若A=BC，则A的列向量组可由B的列向量组线性表示，表示式的系数矩阵为C；A的行向量组可由C的行向量组线性表示，表示式的系数矩阵为\(B^{T}\) 。

向量组的极大线性无关组及秩

4.n维向量空间

向量空间的概念

向量空间的基与维数

含义：向量空间V是其基所生成的向量空间，若把向量空间V看做向量组，向量空间V的基就是向量组V的极大线性无关组，向量空间V的维数就是向量组V的秩。

基变换与坐标变换

5.向量的内积与正交矩阵

施密特正交化方法：把一个线性无关向量组改造成一个与其等价的正交向量组（详见P118，转换公式及几何意义都要掌握）

6.线性方程组解的结构

齐次线性方程组解的结构

非齐次线性方程组

一些结论：

（1）若（A|b）经初等行变换，变换为（B|d），则线性方程组Ax=b与Bx=d同解

（2）Ax=0有非零解⟺ R(A)＜n，n为未知量的个数⟺ A的列向量组线性相关

（3）Ax=b有解⟺ R(A)=R(\(\widetilde{A}\)). ⟺ b可由A的列向量组线性表示

（4）若R(A)=R(\(\widetilde{A}\))=r，则当r=n时，Ax=b有唯一解；当r＜n时，Ax=b有无穷多个解

7.应用举例

情报检索模型、投入产出模型