极值点判断

1.找xxx的定义域，x∈Dx \in Dx∈D
2.找可能是极值的点：一阶导数大于0或一阶导数不存在的点
3.利用单调性判别法：第一充分条件，第二充分条件来判断极值点

例题1：f′(1)=0,lim⁡x→1f′(x)sin⁡πx=−1.问：x=1是什么点?f'(1)=0,\underset{x\to 1}{\lim}\frac{f'(x)}{\sin \pi x}=-1.问：x=1是什么点?f′(1)=0,x→1limsinπxf′(x)=−1.问：x=1是什么点?

解:根据极限的定义可得：∃δ>0,当0<∣x−1∣<δ时,f′(x)sin⁡πx<0\exists \ \delta >0,当0<|x-1|<\delta 时,\frac{f'(x)}{\sin \pi x}<0∃ δ>0,当0<∣x−1∣<δ时,sinπxf′(x)<0

{f′(x)<0,x∈(1−δ,1)f′(x)>0,x∈(1,1+δ)⇒x=1为极小点\begin{cases}f'(x)<0, x\in(1-\delta,1)\\f'(x)>0,x\in(1,1+\delta) \end{cases}\Rightarrow x=1为极小点{f′(x)<0,x∈(1−δ,1)f′(x)>0,x∈(1,1+δ)⇒x=1为极小点

例题2：xf′′(x)−3xf′(x2)=1−e−2x,当a>0,且x=a为极值点，问：x=a是极大值还是极小值？xf''(x)-3xf'(x^2)=1-e^{-2x},当a>0,且x=a为极值点，问：x=a是极大值还是极小值？xf′′(x)−3xf′(x2)=1−e−2x,当a>0,且x=a为极值点，问：x=a是极大值还是极小值？

1.f′(a)=0f'(a)=0f′(a)=0
2.af′′(a)=1−e−2a⇒f′′(a)=1−e−2aa>0af''(a)=1-e^{-2a} \Rightarrow f''(a)=\frac{1-e^{-2a}}{a}>0af′′(a)=1−e−2a⇒f′′(a)=a1−e−2a>0
3.根据第二充分条件：一阶导数等于0，二阶导数大于0，为极小点
∴x=a为极小点\therefore x=a为极小点∴x=a为极小点

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