Matlab软件在高中数学圆锥曲线学习过程中应用

Matlab软件在高中数学圆锥曲线学习过程中应用

摘 要 高中数学中圆锥曲线中最值和定值(定点)问题、求参数范围问题和存在与对称性问题是学习过程中的难点。为解决这些难点问题，基于Maltab软件在数学分析以及可视化性能方面的优越性，我们尝试将Maltab软件以高中数学中的圆锥曲线为应用背景，应用Maltab软件的相关函数绘制图像，实现数学公式的可视化。

【关键词】Matlab软件 圆锥曲线学习 图像绘制

1 引言

高中数学中圆锥曲线中最值和定值(定点)问题、求参数范围问题和存在与对称性问题是学习过程中的难点。有效解决这些难点一直是高中数学学习过程中的问题。随着计算机技术的飞速发展，计算机辅助教学越来越受到人们的重视。Matlab是一款与数学密切相关的算法软件，具有优越的数值计算与可视化等性能。可以使抽象的数学问题形象化，使抽象的数据、公式可视化，充分展现数据与公式的内在关系，加深对数学问题的理解。

2 Matlab在数学中的应用

椭圆、双曲线、抛物线统称为圆锥曲线。从点的集合(或轨迹)来看，它们都是与定点和定直线的距离之比为常数e的点的集合(或轨迹)，这个定点是它们的焦点，定直线是它们的准线，只是由于离散率 的取值范围不同，而分为椭圆、双曲线、抛物线三种曲线。

2.1 椭圆

椭圆的定义为平面内与两定点F1、F2的距离之和等于常数(大于|F1F2|)的点的轨迹，其标准方程如公式(1)所示。

(1)

其中a为椭圆的长半轴长，b为短半轴长，c为半焦距长，椭圆的离心率e为

e=c/a ∈(0，1) (2)

根据不同的离心率e值，如表(1)所示，可以应用Matlab软件绘制出不同的椭圆曲线，如图1所示。

表(1)不同的离心率e值

长半轴长a 10 10 10 10 10

离心率e 0.1 0.3 0.5 0.7 0.9

Matlab程序为：

a=10； %椭圆长半轴长

e=[0.1 0.3 0.5 0.7 0.9]； %椭圆离心率

for i=1：5

c(i)=a*e(i)； %椭圆焦准距长 b(i)=sqrt(a^2-c(i)^2)； %椭圆短半轴长

i=i+1；

end

t=linspace(0，2*pi，1000)；

x=a*cos(t)；

y=ones(5，1000)；

for j=1：5

y(j，：)=b(j)*sin(t)；

figure(1)； %绘制椭圆曲线

plot(x，y(j，：))；

j=j+1；

end

图1：椭圆曲线示意图

从图中可以看出，椭圆是一个封闭图形，对称中心为原点，有两条对称轴和四个顶点，离心率e值决定了椭圆形状的扁平程度，离心率e越大，椭圆形状越扁。

2.2 双曲线

双曲线的定义为平面内与两个定点F1、F2的距离的差的绝对值等于常数(小于|F1F2|且大于零)的点的轨迹，其标准方程如公式(3)所示。

(3)

其中a为双曲线的实半轴长，b为虚半轴长，c为半焦距长，双曲线的离心率e为

e=c/a ∈(1，∞) (4)

根据不同的离心率e值，如表(2)所示，可以应用Matlab软件绘制出不同的双曲线，如图2所示。

表(2)不同的离心率e值

实半轴长a 10 10 10 10 10

离心率e 2 4 6 8 10

Matlab程序为：

a1=10； %双曲线的实半轴长

e1=[2 4 6 8 10]； %双曲线的离心率

for i=1：5

c1(i)=a1*e1(i)； %双曲线的半焦距长

b1(i)=sqrt(-a1^2+c1(i)^2)； %虚半轴长

i=i+1；

end

t1=linspace(-pi/4，pi/4，1000)；

x1=a1./cos(t1)；

y1=ones(5，1000)；

for j=1：5

y1(j，：)=b1(j)*tan(t1)；

figure(2)； %绘图

plot(x1，y1(j，：))；grid on；

xlabel('x')；ylabel('y')；hold on；

plot(-x1，y1(j，：))； hold on；

j=j+1；

end

图2：双曲线示意图

从图中可以看出，双曲线无限延展且有渐近线，对称中心为原点，有两条对称轴和两个顶点，离心率e值决定了双曲线形状的开口大小，离心率e越大，双曲线形状开口也越大。

2.3 抛物线

抛物线的定义为平面内与一个定点F和一条定直线l