文章目录

一、连续、可导
二、f(x^2^)，f(u)，f(φ(x))的区别
三、微分dx和dy
四、求导流程总结（最重要）
- 一阶求导
- - 1.反函数求导法则
  - 2.隐函数求导法则
  - 3.对数求导法
  - 4.参数方程求导法
  - 5.分段函数求导法
  - 6.利用有关导数的重要结论
- 高阶导数
- - 1.直接法：一直往下导就行
  - 2.间接法：高阶导数四则运算法则和常用高阶导数公式
五、求微分流程总结
六、函数与导函数有界性关系
七、判断极值和拐点的流程

一、连续、可导

只有在某点处连续的时候，该点的极限才等于该点的值

二、f(x²)，f(u)，f(φ(x))的区别

在φ(x)=x²下， f(x²)，f(u)，f(φ(x))的区别

在做这种题的时候脑子里经常会有一个声音：“把xxx当做整体来看待”，到底如何严格定义这句话呢？
首先，f(□\Box□)表示一个“函数”，函数由自变量，因变量和映射关系构成，在这种写法下，只能看出映射关系，而看不出自变量和因变量是什么。举个例子y=f(x²)，映射关系为f是毫无疑问的，但是自变量到底是x还是x²？，答案是不知道，因为仅凭y=f(x²)这个式子是无法知道自变量和因变量到底是什么的，必须额外说明，如“自变量为x”或“自变量为x²”，平时没有额外说明是因为省略了。
还是以y=f(x²)为例，什么叫做“把x²当做整体来看待”？其实这里有两种解释的方法：
- 第一种是仅把x²当做整体参与映射，但是自变量依然是x，这时f(x²)和f(φ(x))表示的意义相同；
- 第二种是既把x²当做整体参与映射，并认为自变量是x²，这时f(x²)就和f(u)表示的意义相同；
为什么要强调自变量是什么呢？其实是要引出一个重要的结论：求导一定是指对“自变量”求导！并且f’(□\Box□)的写法是将□\Box□当做自变量来求导，也即第二种理解方式。但是[f(□\Box□)]'则表示的是把x当做自变量求导，也即第一种理解。下面依然以y=f(x²)举例说明：
- y’=[f(x²)]‘=f’(x²)·2x
- 另外，形如f’(x²)的导函数是算不出来的，只能通过代值来确定某一点处的导数值

三、微分dx和dy

在求导的时候，y和x的地位是不一样的，要时刻谨记“y是x的函数”，但是在求微分的时候，x和y的运算规则是相同的

四、求导流程总结（最重要）

能求导的前提是连续，导数的定义是基于极限的
求导的基本法则是：基本初等函数的导数公式、四则运算求导法则和复合函数求导法则。其中基本初等函数的导数公式则是根据导数的定义推出来的定理，因此导数的定义非常非常重要，两种定义时等价的，但表达侧重点不同
求导的常用技巧有：反函数求导法则、隐函数求导法、对数求导法、参数方程求导法、分段函数求导法、根据奇偶性和周期性求导数
求导又可分为求导数（具体到某一点）和求导函数（求区间上的一般规律），一般情况下无论要求的是导数还是导函数，都可以按照“求出导函数->如果需要的话代入值得到具体导数”的流程来，上述的方法里除了两个例外，其余都是先求导函数在求导数的。这两个例外分别是：利用定义求导和利用奇偶性和周期性求导数
利用定义求导既可以做到求导数，也可以做到求导函数，是求导的根本依据.
下面详述各个求导技巧的使用场景和注意事项：

一阶求导

1.反函数求导法则

使用场景：函数本身的导函数因为种种原因难以求得，但是其反函数的导函数比较易得
使用方法：若y=f(x)y=f(x)y=f(x)，则x=φ(y)x=\varphi(y)x=φ(y)，那么f′(x)=1φ′(y)f'(x)=\frac{1}{\varphi'(y)}f′(x)=φ′(y)1
注意事项：求反函数的导数时候势必会涉及到“对y求导”这一比较陌生的问题，这时候需要注意把y当成自变量来看待，并且在求完导数以后才去把式子中的y根据映射关系替换为f(x)，在如何看待y上，显然反函数求导和后面的隐函数求导有重要区别

2.隐函数求导法则

使用场景：y=y(x)的表达式未知，仅仅知道y=y(x)由方程F(x,y)=0所确定。用人话说就是：没有也无法把y单独抽出放到左边
使用方法：左右分别求导，求完后把y’单独整理到左边
注意事项：时刻谨记y是x的函数，这与反函数求导法是不同的

3.对数求导法

使用场景：当出现难以处理的幂指数形式时
使用方法：两边取对数，不用考虑定义域问题，之后再按照其他方法求导
注意事项：对数求导法本质上是一种对式子的处理和变形，之后还需要搭配其他方法求导

4.参数方程求导法

使用场景：y=y(x)由参数方程确定
使用方法：y′(x)=y′(t)x′(t)y'(x)=\frac{y'(t)}{x'(t)}y′(x)=x′(t)y′(t)
注意事项：无

5.分段函数求导法

使用场景：对于分段函数求导
使用方法：区间内用常规方法，分段点处用导数定义来求
注意事项：分段点处只能用导数定义来求

6.利用有关导数的重要结论

可导的偶函数的导数是奇函数
可导的奇函数的导数是偶函数
可导的周期函数的导数仍是周期函数，且周期不变

高阶导数

1.直接法：一直往下导就行

2.间接法：高阶导数四则运算法则和常用高阶导数公式

五、求微分流程总结

六、函数与导函数有界性关系

在有限区间上，f(x)有界⇒f′(x)有界f(x)有界\Rightarrow f'(x)有界f(x)有界⇒f′(x)有界，但f′(x)有界⇏f(x)有界f'(x)有界\nRightarrow f(x)有界f′(x)有界⇏f(x)有界
在无穷区间上，二者没有绝对关系

七、判断极值和拐点的流程

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