高数-常用重要概念

高数理论体系的搭建和相关概念阐述

一、实数的相关概念

高数中最基本的原料就是‘实数’。

自然数集合：N={1,2,3,4,…}；
整数集合：Z={0,±1,±2,±3,…};
有理数集合：Q={ m n \frac{m}{n} nm|m,n∈Z,n≠0};
实数集合：R={有理数＋无理数};
实数集合具有完备性、稠密性的特点。

势的相关概念

有限元素：比较个数；
无限元素：找是否存在一种一一对应。
整数个数=自然数个数=有理数个数，即 ϕ \phi ϕ(N)= ϕ \phi ϕ(Z)= ϕ \phi ϕ(Q).
可数：
一个集合，如果其元素个数和自然数一样多的话，那就是可数个。整数是可数个，有理数是可数个，二维空间的有理点也是可数个。
可数并不代表着有限，无限中的某一类叫可数。
实数的个数远大于整数个数。实数个数不可数。

二、极限

序列极限定义：

∀ ϵ \forall \epsilon ∀ϵ， ∃ N 0 \exist N_0 ∃N0，只要n> N 0 N_0 N0，则有| f ( x ) − L f(x)-L f(x)−L|< ϵ \epsilon ϵ。
— lim ⁡ n → ∞ f ( n ) = L \displaystyle \lim_{n\to \infty}f(n)=L n→∞limf(n)=L
— 要想任意近，只要足够近。

eg: 证明 lim ⁡ n → ∞ 1 n = 0 \displaystyle \lim_{n\to \infty}\frac{1}{n}=0 n→∞limn1=0
证：
对于 ∀ ϵ \forall \epsilon ∀ϵ，寻找是否存在 N 0 N_0 N0，使得 ∣ 1 n − 0 ∣ < ϵ |\frac{1}{n}-0|<\epsilon ∣n1−0∣<ϵ恒成立。
也即：当 N 0 = [ 1 ϵ ] + 1 N_0=[\frac{1}{\epsilon}]+1 N0=[ϵ1]+1时，
对 ∀ ϵ \forall \epsilon ∀ϵ， ∃ N 0 \exist N_0 ∃N0，只要n> N 0 N_0 N0，则有 lim ⁡ n → ∞ 1 n = 0 \displaystyle \lim_{n\to \infty}\frac{1}{n}=0 n→∞limn1=0。

三、夹逼定理

夹逼定理：

若 ∃ a n 、 b n 、 c n \exist a_n、b_n、c_n ∃an、bn、cn，且满足:
对 ∀ ϵ , ∃ N 1 , lim ⁡ n → ∞ a n = L ; ∃ N 2 , lim ⁡ n → ∞ c n = L \forall \epsilon ,\exist N_1,\displaystyle\lim_{n \to \infty}a_n=L;\exist N_2,\displaystyle\lim_{n \to \infty}c_n=L ∀ϵ,∃N1,n→∞liman=L;∃N2,n→∞limcn=L
则有：对 ∀ ϵ , ∃ N 0 , lim ⁡ n → ∞ b n = L \forall \epsilon ,\exist N_0,\displaystyle\lim_{n \to \infty}b_n=L ∀ϵ,∃N0,n→∞limbn=L

— 绕开极限的直接定义得到极限的方式

eg: 证明 lim ⁡ n → ∞ a n n ! = 0 \displaystyle \lim_{n\to \infty}\frac{a^n}{n!}=0 n→∞limn!an=0
证：
需证明：对于 ∀ ϵ \forall \epsilon ∀ϵ，寻找是否存在 N 0 N_0 N0，使得 ∣ a n n ! − 0 ∣ < ϵ |\frac{a^n}{n!}-0|<\epsilon ∣n!an−0∣<ϵ恒成立。
(1).用序列定义证明：
发现无法直接求解使得 ∣ a n n ! − 0 ∣ < ϵ |\frac{a^n}{n!}-0|<\epsilon ∣n!an−0∣<ϵ成立的n值。
(2).用夹逼定理证明：
对于 ∀ ϵ \forall \epsilon ∀ϵ，寻找是否存在 N 0 、 a n 、 c n N_0、a_n、c_n N0、an、cn，使得满足
a). a n < 0 a_n<0 an<0且 c n < 0 c_n<0 cn<0;
b). a n < a n n ! < c n a_n<\frac{a^n}{n!}<c_n an<n!an<cn恒成立。
那么解题的关键就变成如何构造出合适的 a n 、 c n a_n、c_n an、cn。
构造得： a n = 0 、 c n = A a n a_n=0、c_n=A\frac{a}{n} an=0、cn=Ana。
c n c_n cn的构造：
a n n ! = a ∗ a ∗ a ∗ . . . . ∗ a 1 ∗ 2 ∗ 3 ∗ . . . . n = a 1 ∗ a 2 ∗ a 3 ∗ . . . . a n \frac{a^n}{n!}=\frac{a*a*a*....*a}{1*2*3*....n}=\frac{a}{1}*\frac{a}{2}*\frac{a}{3}*....\frac{a}{n} n!an=1∗2∗3∗....na∗a∗a∗....∗a=1a∗2a∗3a∗....na
此连乘式中，对于前半部分a>n， a n > 1 \frac{a}{n}>1 na>1；对于后半部分a<n， a n < 1 \frac{a}{n}<1 na<1。所以将 a n n ! \frac{a^n}{n!} n!an放大为 A a n A\frac{a}{n} Ana，其中A=连乘式前半部分a>n之积、 a n \frac{a}{n} na是最后一项，保证了 c n c_n cn当 n → ∞ n\to\infty n→∞处的值 → \to → 0。
也即：当 N 0 = [ 1 ϵ ] + 1 N_0=[\frac{1}{\epsilon}]+1 N0=[ϵ1]+1时，
对 ∀ ϵ \forall \epsilon ∀ϵ， ∃ N 0 \exist N_0 ∃N0，只要n> N 0 N_0 N0，则有 lim ⁡ n → ∞ 1 n = 0 \displaystyle \lim_{n\to \infty}\frac{1}{n}=0 n→∞limn1=0。

无穷大阶之间的比较

1 < log ⁡ a 4 n < n 1 a 3 < n < n a 1 < a 2 n < n ! < n n 1<\log_{a_4} n<n^\frac{1}{a_3}<n<n^{a_1}<{a_2}^n<n!<n^n 1<loga4n<na31<n<na1<a2n<n!<nn

四、极限的四则运算

对 a n a_n an和 b n b_n bn，均满足：
∀ ϵ \forall \epsilon ∀ϵ， ∃ N 0 \exist N_0 ∃N0，只要n> N 0 N_0 N0，则有 lim ⁡ n → ∞ a n = A \displaystyle \lim_{n\to \infty}a_n=A n→∞liman=A和 lim ⁡ n → ∞ b n = B \displaystyle \lim_{n\to \infty}b_n=B n→∞limbn=B成立。
则有：

若 c n = a n + b n c_n=a_n+b_n cn=an+bn， lim ⁡ n → ∞ c n = A + B \displaystyle \lim_{n\to \infty}c_n=A+B n→∞limcn=A+B;
若 c n = a n − b n c_n=a_n-b_n cn=an−bn， lim ⁡ n → ∞ c n = A − B \displaystyle \lim_{n\to \infty}c_n=A-B n→∞limcn=A−B;
若 c n = a n ∗ b n c_n=a_n*b_n cn=an∗bn， lim ⁡ n → ∞ c n = A ∗ B \displaystyle \lim_{n\to \infty}c_n=A*B n→∞limcn=A∗B;
若 c n = a n b n c_n=\frac{a_n}{b_n} cn=bnan， lim ⁡ n → ∞ c n = A B ( B ≠ 0 ) \displaystyle \lim_{n\to \infty}c_n=\frac{A}{B} (B≠0) n→∞limcn=BA(B=0);

未完待续…

序列极限
夹逼定理

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