起源

设AA是n×nn\times n可逆方正，bb是任意一个nn维向量，则方程组

Ax=b

Ax=b总有解，且解 xx可表示为

x=A−1b.

x=A^{-1}b.
现在设 AA是m×nm\times n可逆方正， bb是一个mm维向量，是否存在 m×nm\times n矩阵 GG，使得方程

Ax=b

Ax=b总有解，且解 xx可表示为

x=Gb.

x=Gb.
这样的矩阵 GG就涉及到广义逆的概念。
广义逆也叫伪逆，一般是指Moore-Penrose广义逆矩阵。

定义

设A∈Cm×nA \in C^{m\times n}，如果 G∈Cn×mG \in C^{n\times m}满足

(1)AGA=A,(2)GAG=G,(3)(AG)H=AG,(4)(GA)H=GA,

(1)\quad AGA=A, \\ (2)\quad GAG=G, \\ (3)\quad (AG)^{H}=AG, \\ (4)\quad (GA)^{H}=GA,
则 GG为AA的Moore-Penrose广义逆矩阵，简称M-P广义逆，记为 A+A^{+}或者 A†A^{\dagger}.
注： AHA^{H}为 AA的转置共轭矩阵.

广义逆的满秩算法

设AA为列满秩矩阵，则 A+=(AHA)−1AHA^{+}=(A^{H}A)^{-1}A^{H};
- 设AA为行满秩矩阵，则A+=AH(AAH)−1A^{+}=A^{H}(AA^{H})^{-1};
- 设A=LRA=LR，其中LL为列满秩矩阵，RR为行满秩矩. 则
  A+=R+L+=RH(RRH)−1(LHL)−1LH
  
  A^{+}=R^{+}L^{+}=R^{H}(RR^{H})^{-1}(L^{H}L)^{-1}L^{H}.

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