Moore–Penrose伪逆

设A∈Cm×n\mathbf{A}\in\mathbb{C}^{m\times n}A∈Cm×n,若存在n×mn\times mn×m的矩阵G\mathbf{G}G,同时满足
(1)AGA=A\mathbf{AGA}=\mathbf{A}AGA=A
(2)GAG=G\mathbf{GAG}=\mathbf{G}GAG=G
(3)(AG)H=AG\left(\mathbf{AG}\right)^H=\mathbf{AG}(AG)H=AG
(4)(GA)H=GA\left(\mathbf{GA}\right)^H=\mathbf{GA}(GA)H=GA
则称G\mathbf{G}G为A\mathbf{A}A的加号逆，或伪逆，或摩尔-彭诺斯逆，记为A†\mathbf{A}^{\dagger}A†

考虑精简SVD
A=U1Σ1V1H\mathbf{A}=\mathbf{U}_1\mathbf{\Sigma}_1\mathbf{V}_1^HA=U1Σ1V1H
设rank⁡(A)=r\operatorname{rank} \left(\mathbf{A}\right)=rrank(A)=r
U1∈Cm×r\mathbf{U}_1\in\mathbb{C}^{m\times r}U1∈Cm×r
Σ1∈Rr×r\mathbf{\Sigma}_1\in\mathbb{R}^{r\times r}Σ1∈Rr×r
V1∈Cn×r\mathbf{V}_1\in\mathbb{C}^{n\times r}V1∈Cn×r
则A†=V1Σ1−1U1H\mathbf{A}^{\dagger}=\mathbf{V}_1\mathbf{\Sigma}_1^{-1}\mathbf{U}_1^HA†=V1Σ1−1U1H
容易验证满足上面4个条件

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