原始Young不等式

设函数f(x)f(x)f(x)是严格单增的连续函数(x≥0)(x\ge0)(x≥0)
f(0)=0f(0)=0f(0)=0
对于∀a≥0,b≥0\forall a\ge 0,b\ge 0∀a≥0,b≥0
有ab≤∫0af(x)dx+∫0bf−1(x)dxab\le \int_{0}^{a}f(x)\mathrm{d} x+\int_{0}^{b}f^{-1}(x)\mathrm{d}xab≤∫0af(x)dx+∫0bf−1(x)dx,当且仅当f(a)=bf(a)=bf(a)=b取等
证明：

先证明当b=f(a)b=f(a)b=f(a)时，∫0af(x)dx+∫0bf−1(y)dy=af(a)\int_{0}^{a}f(x)\mathrm{d} x+\int_{0}^{b}f^{-1}(y)\mathrm{d}y=af(a)∫0af(x)dx+∫0bf−1(y)dy=af(a)
因为f(x)f(x)f(x)在[0,a][0,a][0,a]上是严格单增的函数
所以f−1(x)f^{-1}(x)f−1(x)在[0,f(a)][0,f(a)][0,f(a)]上是严格单增的函数
将[0,a]n[0,a]n[0,a]n等分
0=x0≤x1<x2<⋯<xn=a0=x_0\le x_1 <x_2<\cdots<x_n=a0=x0≤x1<x2<⋯<xn=a
设y=f(xi)y=f(x_i)y=f(xi),则构成[0,f(a)][0,f(a)][0,f(a)]的一个划分
0=y0≤y1<y2<⋯<yn=f(a)0=y_0\le y_1<y_2<\cdots<y_n=f(a)0=y0≤y1<y2<⋯<yn=f(a)
因为f(x)∈C[a,b]f(x)\in C[a,b]f(x)∈C[a,b]
所以f(x)f(x)f(x)在[0,a][0,a][0,a]上一致连续
当n→∞n\to \inftyn→∞
max⁡1≤i≤nΔyi=max⁡1≤i≤n(yi−yi−1)=max⁡1≤i≤n(f(xi)−f(xi−1)→0\max\limits_{1\le i \le n}\Delta y_i=\max\limits_{1\le i \le n}(y_i-y_{i-1})=\max\limits_{1\le i \le n}(f(x_i)-f(x_{i-1})\to 01≤i≤nmaxΔyi=1≤i≤nmax(yi−yi−1)=1≤i≤nmax(f(xi)−f(xi−1)→0
∫0af(x)dx+∫0bf−1(y)dy=lim⁡n→∞(∑i=1nf(xi)Δxi+∑i=1nf(yi−1)Δyi=lim⁡n→∞∑i=1n(f(xi)(xi−xi−1)+f(yi−1)(f(xi)−f(xi−1))=lim⁡n→∞∑i=1n(f(xi)xi−xi−1f(xi−1))=lim⁡n→∞(f(xn)xn−x0f(x0))=af(a)−0f(0)=af(a)\begin{aligned} &\quad \int_{0}^{a}f(x)\mathrm{d} x+\int_{0}^{b}f^{-1}(y)\mathrm{d}y\\ &=\lim\limits_{n\to\infty}(\sum_{i=1}^{n}f(x_i)\Delta x_i+\sum_{i=1}^{n}f(y_{i-1})\Delta y_i\\ &=\lim\limits_{n\to\infty}\sum_{i=1}^{n}\left(f(x_i)(x_i-x_{i-1})+f(y_{i-1})(f(x_i)-f(x_{i-1}) \right)\\ &=\lim\limits_{n\to\infty}\sum_{i=1}^{n}(f(x_i)x_i-x_{i-1}f(x_{i-1}))\\ &=\lim\limits_{n\to\infty}(f(x_n)x_n-x_0f(x_0))\\ &=af(a)-0f(0)\\ &=af(a)\\ \end{aligned} ∫0af(x)dx+∫0bf−1(y)dy=n→∞lim(i=1∑nf(xi)Δxi+i=1∑nf(yi−1)Δyi=n→∞limi=1∑n(f(xi)(xi−xi−1)+f(yi−1)(f(xi)−f(xi−1))=n→∞limi=1∑n(f(xi)xi−xi−1f(xi−1))=n→∞lim(f(xn)xn−x0f(x0))=af(a)−0f(0)=af(a)
当0<b<f(a)0<b<f(a)0<b<f(a)时，由f(x)f(x)f(x)的连续性可知
至少存在一点x0∈(0,a)x_0\in(0,a)x0∈(0,a)，使得f(x0)=bf(x_0)=bf(x0)=b
∫0af(x)dx+∫0bf−1(y)dy=∫0x0f(x)dx+∫x0af(x)dx+∫0f(x0)f−1(y)dy=x0f(x0)+(a−x0)f(ξ)(ξ∈(x0,a))≥x0f(x0)+(a−x0)f(x0)=af(x0)=ab\begin{aligned} &\quad \int_{0}^{a}f(x)\mathrm{d} x+\int_{0}^{b}f^{-1}(y)\mathrm{d}y\\ &=\int_{0}^{x_0}f(x)\mathrm{d}x+\int_{x_0}^{a}f(x)\mathrm{d}x+\int_{0}^{f(x_0)}f^{-1}(y)\mathrm{d}y\\ &=x_0f(x_0)+(a-x_0)f(\xi)(\xi\in (x_0,a))\\ &\ge x_0f(x_0)+(a-x_0)f(x_0)\\ &=af(x_0)\\ &=ab \end{aligned} ∫0af(x)dx+∫0bf−1(y)dy=∫0x0f(x)dx+∫x0af(x)dx+∫0f(x0)f−1(y)dy=x0f(x0)+(a−x0)f(ξ)(ξ∈(x0,a))≥x0f(x0)+(a−x0)f(x0)=af(x0)=ab
当b>f(a)b>f(a)b>f(a)时
∫0af(x)dx+∫0bf−1(y)dy=∫0af(x)dx+∫0f(a)f−1(y)dy+∫f(a)bf−1(y)dy=af(a)+(b−f(a))f−1(ξ)(ξ∈(f(a),b))≥af(a)+(b−f(a))f−1(f(a))=af(a)+(b−f(a))a=ab\begin{aligned} &\quad \int_{0}^{a}f(x)\mathrm{d} x+\int_{0}^{b}f^{-1}(y)\mathrm{d}y\\ &=\quad \int_{0}^{a}f(x)\mathrm{d} x+\int_{0}^{f(a)}f^{-1}(y)\mathrm{d}y+\int_{f(a)}^{b}f^{-1}(y)\mathrm{d}y\\ &=af(a)+(b-f(a))f^{-1}(\xi)(\xi\in (f(a),b))\\ &\ge af(a)+(b-f(a))f^{-1}(f(a))\\ &=af(a)+(b-f(a))a\\ &=ab \end{aligned} ∫0af(x)dx+∫0bf−1(y)dy=∫0af(x)dx+∫0f(a)f−1(y)dy+∫f(a)bf−1(y)dy=af(a)+(b−f(a))f−1(ξ)(ξ∈(f(a),b))≥af(a)+(b−f(a))f−1(f(a))=af(a)+(b−f(a))a=ab

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