UVa Problem 10247 Complete Tree Labeling （完全树标号）

// Complete Tree Labeling （完全树标号）
// PC/UVa IDs: 110605/10247, Popularity: C, Success rate: average Level: 2
// Verdict: Accepted
// Submission Date: 2011-06-06
// UVa Run Time: 0.172s
//
// 版权所有（C）2011，邱秋。metaphysis # yeah dot net
//
// 如何得到递推关系？设 T（K，D）表示分支因子为 K，深度为 D 的 K 叉树标号的方案数。又设
// N（K，D）表示分支因子为 K，深度为 D 的完全 K 叉树所包含的节点数。根据完全 K 叉树的定义，
// 深度为 D 的完全 K 叉树包含了 K 个深度为 （D - 1） 的完全 K 叉数，其包含的节点数可以
// 表示为 N（K，D - 1），有 K * N（K，D - 1） + 1 = N（K，D）。每个子树的标号方案数为
// T（K，D - 1），则问题转化为下面的问题：N（K，D） - 1 个节点，编号为 1 - （N（K，D） - 1），
// 划分为 K 个子集，每个子集有 N（K，D - 1）个节点，这种划分方法有多少？因为只要确定了划分
// 方法数，则由于知道了 T（K，D - 1），只要将每种划分方法得到的子集和每棵子树一一对应，每个
// 子集的元素可以与 T（K，D - 1） 中的标号形成一一映射，设总的划分方法数为X，则有以下关系：
//
// T（K，D） = X * (T（K，D - 1) ^ K)    （1）
//
// 而集合的划分种数 X 相当与每次从 N（K，D） - 1 个节点中取 N（K，D - 1）个节点，共取 K 次
// 所能得到的不同取法总数。设 A = （N（K，D） - 1），B = N（K，D - 1），A = K * B，有：
//
// X = C（A，B） * C（A - B，B） * …… * C（A - T * B，B），0 <= T <= K - 1 （2）
//
// 根据组合数的定义可将（2）式化简为：
//
// X = （A！） / （（B！） ^ K ）  （3）
//
// 最终有：
//
// T（K，D） = （（（N（K，D） - 1）！ / （（N（K，D - 1）！） ^ K）） * T（K，D - 1)
// ^ K （4）
//
// 容易知道 T（K，0） = 1，N（K，D） = （K ^ （D + 1） - 1） / （K - 1）。则可进一步化简得
// 到：
//
// T（K，D） = （N（K，D） - 1）！ / N（K，D - 1） ^ K / N（K，D - 2） ^ （K ^ 2) /.../
// N（K，1） ^ （K ^ （D - 1）） （5）
//
// 可以看出涉及到大数的乘以及除运算。#include <iostream>
#include <vector>
#include <iomanip>
#include <algorithm>using namespace std;class integer
{friend ostream& operator<<(ostream&, const integer&);public:integer() { };// 将无符号整数转换为大整数。integer(unsigned int a){if (a == 0)digits.push_back(0);else{while (a){digits.push_back(a % base);a /= base;}}};~integer() { };integer operator*(const integer&);integer& operator*=(unsigned int);integer& operator*=(const integer&);integer operator/(integer&);bool is_zero(void){return digits.empty();};private:void zero_justify(void);bool less_equal(integer&, unsigned int &, integer&);vector < unsigned int > digits;        // 数位。static unsigned int const base = 10000;  // 基数。static unsigned int const width = 4; // 数位宽度。
};// 重载输出符号 <<。
ostream& operator<<(ostream& os, const integer& number)
{os << number.digits[number.digits.size() - 1];for (int i = number.digits.size() - 2; i >= 0; i--)os << setw(number.width) << setfill('0') << number.digits[i];return os;
}// 移除大数运算产生的前导 0。
void integer::zero_justify(void)
{for (int i = digits.size() - 1; i >= 1; i--){if (digits[i] == 0)digits.erase(digits.begin() + i);elsebreak;}
}integer& integer::operator*=(const integer& b)
{return *this = *this * b;
}// 大数乘以无符号整数。
integer& integer::operator*=(unsigned int b)
{if (b >= base){*this *= integer(b);return *this;}unsigned int carry = 0;for (int i = 0; i < digits.size(); i++){digits[i] = digits[i] * b + carry;carry = digits[i] / base;digits[i] %= base;}if (carry)digits.push_back(carry);return *this;
}// 乘法。
integer integer::operator*(const integer& b)
{integer c;// 预先分配足够空间。c.digits.resize(digits.size() + b.digits.size());fill(c.digits.begin(), c.digits.end(), 0);// 一行一行算，逐行相加。for (int i = 0; i < b.digits.size(); i++)for (int j = 0; j < digits.size(); j++){c.digits[i + j] += digits[j] * b.digits[i];c.digits[i + j + 1] += c.digits[i + j] / base;c.digits[i + j] %= base;}// 去掉前导0。c.zero_justify();return c;
}// 判断 b * v <= row 是否成立，成立返回 true，否则返回 false。
bool integer::less_equal(integer& b, unsigned int &v, integer& row)
{// 由于本题中存在关系 row.digits.size() = b.digits.size() + 1，故可以加以利用。// 若 b * v 的最高位大于 row，则可确定，b * v > row。int carry = b.digits[b.digits.size() - 1] * v;if ((carry / base) > row.digits[row.digits.size() - 1])return false;// 逐位比较，当两个数位不等时，记录比较结果，最后一次的比较结果决定了 b * v 和 row 的大小// 关系。bool flag = true;carry = 0;   for (int i = 0; i < b.digits.size(); i++){int tmp = b.digits[i] * v + carry;carry = tmp / base;tmp %= base;if (row.digits[i] != tmp)flag = tmp < row.digits[i];}// 进位需要与 row 的最高位比较。if (carry != row.digits[row.digits.size() - 1])flag = carry < row.digits[row.digits.size() - 1];return flag;
}// 除法，使用二分法来试除得到商。
integer integer::operator/(integer& b)
{integer c;integer row;// 要为商 c 和表示被减数的 row 分配存储空间。c.digits.resize(digits.size() - b.digits.size() + 1);row.digits.resize(b.digits.size() + 1);// 初始化值。fill(c.digits.begin(), c.digits.end(), 0);fill(row.digits.begin(), row.digits.end(), 0);for (int i = digits.size() - 1; i >= 0; i--){// 获取被除数。for (int j = row.digits.size() - 1; j > 0; j--)row.digits[j] = row.digits[j - 1];row.digits[0] = digits[i];// 通过二分试除法得到对应位的商。int high = base - 1;int low = 0;unsigned int v = (high + low + 1) >> 1;while (high > low){if (less_equal(b, v, row))low = v;elsehigh = v - 1;v = (high + low + 1) >> 1;}// 从 row 中减去 v 个 b。int borrow, start = 0;for (; start < b.digits.size(); start++){// 决定借位的数量。int t = row.digits[start] - v * b.digits[start];if (t < 0)borrow = (base - 1 - t) / base;elseborrow = 0;// 高位减去借位数量。row.digits[start + 1] -= borrow;// 低位加上借位。t += base * borrow;row.digits[start] = t % base;}// 将对应位的商存入结果中。for (int j = c.digits.size() - 1; j > 0; j--)c.digits[j] = c.digits[j - 1];c.digits[0] = v;}// 清除前导 0。c.zero_justify();return c;
}#define TREEDEEPTH 22// 计算分支因子为 k，深度为 d 的标号方案数。
void cal_tree(vector < int > kd)
{// 存储分支因子为 k，深度为 d 的 k 叉数的完全数标号方案数。integer tree[TREEDEEPTH][TREEDEEPTH];// 存储分支因子为 k，深度为 d 的 k 叉数的节点数。unsigned int nodes[TREEDEEPTH][TREEDEEPTH];// 计算满足 k * d <= 21 的树的节点数。并找到最大的节点数。unsigned int max = 0;for (int i = 0; i < kd.size(); i += 2){nodes[kd[i]][0] = 1;for (int j = 1; j <= kd[i + 1]; j++){nodes[kd[i]][j] = nodes[kd[i]][j - 1] * kd[i] + 1;if (nodes[kd[i]][j] > max)max = nodes[kd[i]][j];}}// 计算 1 到节点数 max - 1 的阶乘。vector < integer > fact(max);fact[0] = integer(1);for (unsigned int i = 1; i < max; i++)fact[i] = fact[i - 1] * i;// 根据化简的公式（5）计算标号方案数。for (int i = 0; i < kd.size(); i += 2){   if (tree[kd[i]][kd[i + 1]].is_zero()){// 计算 N（K，M） ^ （K ^ （D - M）），v = K ^ （D - M）。unsigned int v = 1;integer t(1);for (int d = kd[i + 1]; d > 0; d--){v *= kd[i];for (int k = 1; k <= v; k++)t *= nodes[kd[i]][d - 1];}tree[kd[i]][kd[i + 1]] =fact[nodes[kd[i]][kd[i + 1]] - 1] / t;}cout << tree[kd[i]][kd[i + 1]] << endl;}
}int main(int ac, char *av[])
{int k, d;vector < int > kd;while (cin >> k >> d){kd.push_back(k);kd.push_back(d);}cal_tree(kd);return 0;
}

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