深入理解机械臂动力学建模

A刚性机械臂

机械臂建模是机械臂控制的基础，控制效果的好坏很大程度上决定于所建立的动力学模型的准确性。目前对刚性机械臂的动力学建模方法较多，理论较为成熟。而对于柔性空间机械臂的精确建模尚处在研究阶段。

表格1 刚体动力学建模原理

动力学建模原理	特点
牛顿-欧拉法	完整约束系统: D’Alembert原理消除约束力；非完整约束系统:Jourdain原理消去约束力
拉格朗日法	多体系统运动方程和约束方程；刚性微分-代数方程
维登伯格方法	多体系统拓扑结构矩阵描述；
凯恩方程	兼有分析力学与矢量力学的优点
高斯最小约束原理	变分原理分析多体系统可能存在的运动；泛函极值原理求解出系统的运动规律

不同的建模原理可以得到机械臂不同的动力学表达式，有些算法可以求解出机械臂的正向和逆向问题，而有些算法只能求解出正向或者逆向问题。衡量一个动力学模型和软件的指标是计算效率，计算精度，收敛性，稳定性，通用性和代码可移植性等。在不同的应用场合下其应用侧重点不一样，如离线方仿真软件对计算速度要求不高而对通用性等特性要求高，而实时仿真软件则对通用性要求不高但对计算效率以及稳定性要求较高。

实时计算最主要由基于关节空间惯量矩阵的算法以及正向动力学递推算法。

1）基于关节空间惯量矩阵的动力学算法

该方法中关键是求出机器人系统的关节空间惯量矩阵，再求出其离心力项，进而根据机器人的动力学普遍方程求出关节角加速度。而求解关节空间惯量矩阵的方法有很多种，Walker和Orin在其论文中给出了三种求解关节空间惯量矩阵的方法，但是其中计算效率最高的是基于组合体求解惯量矩阵的方法。

2）基于铰接体概念的动力学递推算法

Featherstone最先在其论文中引入铰接体的概念，并在基于空间矢量的表示方法下建立了机械臂的动力学模型。其计算量与自由度成正比。该方法不需要在计算关节加速度时计算惯量矩阵的逆，而是根据从牛顿-欧拉方程导出的机械臂模型出发直接导出关于求解关节加速度的递推公式。20世纪90年代，Rodrigue和Jain提出了多体动力学的空间算子代数的方法，该算法结合了铰接体算法以及滤波原理。由于基于空间算子代数理论也可以计算出机械臂的惯量矩阵，因此其也可以和基于关节空间惯量矩阵的方法进一步结合进行正向动力学计算。

刚性机械臂的正向动力学建模主要分为以下三个步骤：

机械臂参数化描述
根据动力学原理建立机械臂模型
数值积分

漂浮基座机械臂正向动力学算法

对于漂浮基座可以看作是通过6-DOFs的无质量的虚拟铰链将其与惯性系连接；则以漂浮基座为初始端的铰接体不受外力作用，对于自由飞行状态的空间机械臂，则可以将基座部分的控制力矩视为铰接体0所受到的外力。下面以漂浮基座为例说明空间矢量描述的ABA算法的扩展。

B 柔性机械臂

刚性机械臂建模方法已经可以有效地求解出机械臂各部分之间的耦合情况，但是对于柔性机械臂的动力学建模其侧重点在于基于刚性机械臂建模方法的基础上如何有效的处理机械臂关节柔性以及臂杆柔性的问题。由于机械臂的截面相对于其长度而言很小，可以将柔性杆作为Euler-Bernouli梁，柔性机械臂可以视为一个具有无限自由度的连续系统。相对于刚性机械臂杆件之间的耦合，柔性机械臂还需要考虑关节的柔性以及臂杆弹性变形的耦合。因而，柔性机械臂的运动方程具有高度非线性。

在对柔性系统进行建模的过程中，需要解决坐标系的选择、柔性体的离散化、动力学建模方法以及方程求解等问题。

1.柔性体的描述

柔性体的描述是柔性机械臂建模与控制的基础。根据选择参照系的不同，一般可分为相对坐标法以及绝对坐标法。由于绝对坐标法虽然可以获得形式简单的动力学方程，但是却大大增加了广义坐标的数目，进而需要引入相应的约束方程。目前的应用已经较少。而相对坐标法则是在柔性体上建立一动参照系，将柔性体的真实运动分解为牵连运动和相对于动坐标系运动的迭加。有利于小变形构件的离散化和线性化。应用较多。

2.柔性体的离散化

柔性机械臂是由柔性关节构成的集中参数系统和柔性杆件构成的分布参数系统所组成的混合系统，其动力学特性由偏微分方程描述。为求解该偏微分方程，需要采用离散方法将偏微分方程离散成常微分方程。对于变形场的离散化主要有有限元法（FEM），假设模态法（AMM），集中质量法（LPM）以及转移矩阵法（TMM）等。

有限元法是将有限自由度的连续体理想化为只有有限自由度的单元集合体，使问题简化为适于数值解法的结构型问题。该方法将连续系统划分为一定数目的柔性单元，对单元位移分布建立某种假设，并据此导出单元的动力学方程，通过单元组集最终获得柔性机器人系统的动力学方程，有限元法可模拟任意复杂形状的柔性构件，并可调用ANSYS等进行分析。

有限段法也是将无限自由度的连续体离散，只不过是离散成有限刚度梁段，将系统的柔性等效至梁段结点，即将柔性系统描述为多个刚体，以含有弹簧以及阻尼器的结点互连。当划分无穷时，有限段趋于微分梁段，其弹性线长度相当于弧微分，而不是有限元法中对于坐标的微分。有限段法容易计入几何非线性的影响，比较适合于含细长构件的柔性机器人系统，理论推导程式化，便于数值计算。

集中质量法将柔性体的分布质量按一定的规则聚缩于若干离散结点，其间用不计质量的弹性元件连接，并将柔性体的分布载荷等效至上述结点。该方法调理清晰，适于构件形状比较复杂的柔性机械系统。但是，与有限元法相比，在同等自由度下，该算法的精度较低。

假设模态法以Rayleigh-Ritz法为基础，采用模态截断技术将柔性体的高阶模态截断，之后利用Lagrange方程、Hamilton原理等建模方法得到离散化的动力学方程。模态函数的选取通常有两种方法，即约束模态法与非约束模态法。前者采用瞬时结构假定，忽略刚体惯性力以及科氏族力的影响，根据梁的自由振动方程确定模态函数。后者以柔性机器人的振动方程为基础，直接由几何、物理边界条件推导出系统的频率方程以及相应的模态函数。假设模态法建立的动力学方程规模较小，便于提高计算效率，在仿真与实时控制方面具有一定的优势，但是在描述复杂结构的振动模态时常会遇到较大的困难。假设模态法将柔性杆的变形表示为一系列模态函数的组合，具有方程规模较小、便于实时控制的特点，但是假设模态法需要考虑系统的特征值，只能处理形状简单、约束条件易求的系统。