综合评价体系之熵权法

（一）建模目的：

如何客观又合理地评价一部电影的受欢迎度呢？生活中有很多这样的场景，仅有个别人的看法，显然不能如实地反映这部电影的受欢迎度，通过抽样的方法，选取合理的指标建立评价模型，最终取得一个得分来相对评价电影的受欢迎度。

（二）熵权法的原理：

熵衡量着系统的混乱程度，可以拿来衡量信息的多少。指标的变异程度越小，所反映的现有信息量越少，其对应的权重也越低。也就是说，熵权法是使用指标内部所包含的信息量，来确定该指标在所有指标之中的地位。

（三）基本步骤：

1)数据标准化处理

对原始矩阵 $X=x_{ij}\left ( m\times n \right )$ 进行标准化：

2）信息熵的计算

(1)计算第 $j$ 项指标在第i年的数值占该指标比重（ $p_{ij}$ ）：

(2)计算第j项指标熵值（ $E_{j}$ ）,当 $P_{ij}=0$ 时， $P_{ij}\ln P_{ij}=0$ ,

3）权重的计算

计算第j项指标的变异系数（ $G_{j}$ ）和权重（ $W_{j}$ ）：

$G_{j}=1-E_{j} ;W_{j}=\frac{G_{j}}{\sum_{j=1}^{n}G_{j}},(j=1,2,..,n)$

4）计算TOPSIS中的优劣距离和综合评价得分

(1)由标准化矩阵和各指标权重可得加权标准化矩阵： $Z_{ij}=W_{j}\times Y_{ij}$

(2)计算正负理想解： $I_{j}^{+}=max(z_{1j},z_{2j},...,z_{mj}),I_{j}^{-}=min(z_{1j},z_{2j},...,z_{mj})$

(3)计算正负理想解的欧式距离：

$d_{i}^{+}=\sqrt {\sum_{j=1}^{n}(i_{j}^{+}-z_{ij})^2}, d_{i}^{-}=\sqrt{\sum_{j=1}^{n}(i_{j}^{-}-z_{ij})^2}$

(4)计算综合评价值：

$c_{i}= \frac{d_{i}^{-}}{d_{i}^{+}+d_{i}^{-}}$

(三) 具体实际应用

(1)学习正向指标和负向指标在实际场合的应用。一般来说，从数学的角度，通过相关矩阵正相关关系为正向指标，负相关关系为负向指标，当然并不是绝对的；从实际生活的角度，一个变量的增大导致最终因变量的增大，如在现实生活中，我们通常认为，一个学生的期末成绩通常与作业的完成质量，期中成绩，课堂的出勤率及参与度有正相关，与缺勤率呈负相关。实际应用中，应具体结合数据和实际意义来确定正向指标和负向指标。

(2)理解字符串的筛选

i == str(f'X{j}负')

import pandas as pd
import numpy as np
data=pd.read_excel("data.xlsx", sheet_name=0,header=0,index_col=0) #读取数据
m,n=data.shape  #获取行数m和列数n
#熵权法计算
def Y_ij(data1):   #矩阵标准化(min-max标准化)for i in data1.columns:for j in range(n+1):if i == str(f'X{j}负'):  #负向指标data1[i]=(np.max(data1[i])-data1[i])/(np.max(data1[i])-np.min(data1[i]))else:   #正向指标data1[i]=(data1[i]-np.min(data1[i]))/(np.max(data1[i])-np.min(data1[i]))return data1
Y_ij=Y_ij(data)  #标准化矩阵
None_ij = [[None] * n for i in range(m)]  #新建空矩阵
def E_j(data3):  #计算熵值data3 = np.array(data3)E = np.array(None_ij)for i in range(m):for j in range(n):if data3[i][j] == 0:e_ij = 0.0else:P_ij = data3[i][j] / data3.sum(axis=0)[j]  #计算比重e_ij = (-1 / np.log(m)) * P_ij * np.log(P_ij)E[i][j] = e_ijE_j=E.sum(axis=0)return E_j
E_j = E_j(Y_ij)  #熵值
G_j = 1 - E_j    #计算差异系数
W_j = G_j / sum(G_j)   #计算权重
WW= pd.Series(W_j, index=data.columns, name='指标权重')
#print(WW)
Y_ij.to_excel("Y_ij.xls",sheet_name='Y_ij')
WW.to_excel("WW.xls",sheet_name='WW')#TOPSIS计算
Y_ij = np.array(Y_ij)  #Y_ij为标准化矩阵
Z_ij = np.array(None_ij)  #空矩阵
for i in range(m):for j in range(n):Z_ij[i][j]=Y_ij[i][j]*W_j[j]  #计算加权标准化矩阵Z_ij
Imax_j=Z_ij.max(axis=0)  #最优解
Imin_j=Z_ij.min(axis=0)  #最劣解
Dmax_ij = np.array(None_ij)
Dmin_ij = np.array(None_ij)
for i in range(m):for j in range(n):Dmax_ij[i][j] = (Imax_j[j] - Z_ij[i][j]) ** 2Dmin_ij[i][j] = (Imin_j[j] - Z_ij[i][j]) ** 2
Dmax_i=Dmax_ij.sum(axis=1)**0.5  #最优解欧氏距离
Dmin_i=Dmin_ij.sum(axis=1)**0.5  #最劣解欧氏距离
C_i=Dmin_i/(Dmax_i+Dmin_i)  #综合评价值
Dmax_i= pd.Series(Dmax_i, index=data.index, name='最优解')
Dmin_i= pd.Series(Dmin_i, index=data.index, name='最劣解')
C_i= pd.Series(C_i, index=data.index, name='综合评价值')
pd.concat([Dmax_i, Dmin_i, C_i]).to_excel("C_i.xls")

（四）与其他综合评价的区别：

层次分析法：与之相比，较强的主观性；判断矩阵基本由个人填写，往往最适用没有数据的情况。在确定各层次各因素之间的权重时，如果只是定性的结果，单个个体的想法（我认为有70%的可能），则常常不容易被别人接受，因此Santy等人提出了一致矩阵法，即：

不把所有因素放在一起比较，而是两两比较；
对此时采用相对尺度，以尽可能减少性质不同的诸因素相互比较的困难，以提高准确性；

成对比较矩阵是表示本层所有因素针对上一层某一个因素(准侧或目标)的相对重要性的比较。成对比较矩阵的元素 $a_{ij}$ 表示的是第 $i$ 个因素相对于第 $j$ 个因素的比较结果，这个值使用的是Santy的1-9标度方法给出。

标度	含义
1	表示两个因素相比，具有同样重要性
3	表示两个因素相比，一个因素比另一个因素稍微重要
5	表示两个因素相比，一个因素比另一个因素明显重要
7	表示两个因素相比，一个因素比另一个因素强烈重要
9	表示两个因素相比，一个因素比另一个因素极端重要
2，4，6，8	上述两相邻判断的中值
倒数	因素i与j相比的判断aij,则因素j与i比较的判断aji=1/aij

参考文档：数学建模笔记——评价类模型之熵权法 - 简书

层次分析法(AHP) - 知乎

Python学习笔记——熵权—TOPSIS - 知乎

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