盘点数学上那些毁三观的“不可能”定理

只有正面没有背面的纸

你能找到一张只有一面的纸吗
他默默的掏出了一个莫比乌斯环

莫比乌斯环（莫比乌斯环只有一面）

皮亚诺曲线

皮亚诺曲线（Peano curve）是一曲线序列的极限。只要恰当选择函数，画出一条连续的参数曲线，当参数t在0、1区间取值时，皮亚诺曲线将遍历单位正方形中所有的点，得到一条充满空间的曲线。皮亚诺曲线是一条连续而不可导的曲线。

克莱因瓶

克莱因瓶没有“边”，它的表面不会终结。它和球面不同，一只苍蝇可以从瓶子的内部直接飞到外部而不用穿过表面，即它没有内外之分。

康托尔集

康托尔集是个测度为0的集，用简单的解析几何说法就是这函数图像面积为0。取一条长度为1的直线段，将它三等分，去掉中间一段，留剩下两段，再将剩下的两段再分别三等分，各去掉中间一段，剩下更短的四段，……，将这样的操作一直继续下去，直至无穷

即无穷无尽，但又不占任何地方

狄利克雷函数

狄利克雷函数的解析式，处处不可导，处处不连续，无法画出图像，但是图像客观存在

莱洛三角形

莱洛三角形勒洛三角形是定宽曲线，用它来搬运东西，不会发生上下抖动
弧三角形,又叫莱洛三角形, 是机械学家莱洛首先进行研究的.弧三角形是这样画的;先画正三角，然后分别以三个顶点为圆心,边长长为半径画弧得到的三角形。

熵

有什么东西只增不减？
熵
不可能
我也希望它不存在

当一些规则的粒子，失去外力的控制后，马上就会变得混乱不堪，而不是变得更加凝聚。
而热力学第二定律，也是基于熵增原理之上的物理法则。能量永远无法100%地转换，也是因为微观粒子总会变得更混乱，然后流失掉，导致整体能量的损耗。
而我们的宇宙，也是如此。随着宇宙的膨胀，宇宙中所有的物质最终会在熵增原理的作用下，越来越混乱、彼此远离，最终整个宇宙可能都将归于沉寂。

谢尔宾斯基地毯

一块破烂不堪的布，剪下其中的一小块，不也是完好无缺的么?

谢尔宾斯基地毯具有自相似性，它和它本身的一部分完全相似。减掉一块会破坏自相似性。类似于雪花曲线，越往里面看越密集。谢尔宾斯基地毯是数学家谢尔宾斯基提出的一个分形图形. 谢尔宾斯基地毯和谢尔宾斯基三角形基本类似, 不同之处在于谢尔宾斯基地毯采用的是正方形进行分形构造, 而谢尔宾斯基三角形采用的等边三角形进行分形构造.。

薛定谔方程

但凡我们能够描述的事物，都会有它自己的规律。
听他这么一说，我写下了薛定谔方程

[外链图片转存失败(img-pvgJaDbS-1562398923181)(https://i.loli.net/2019/01/27/5c4d9f529eabb.png)]
薛定谔方程表明量子力学中，粒子以概率的方式出现，没有规律。

魏尔斯特拉斯函数

你随手画一条曲线，用放大镜放大了看，它还有那么弯曲吗？
我笑了笑，写下了魏尔斯特拉斯函数

魏尔斯特拉斯函数（Weierstrass function）是一类处处连续而处处不可导的实值函数。魏尔斯特拉斯函数可以说是第一个分形函数，尽管这个名词当时还不存在。将魏尔斯特拉斯函数在任一点放大，所得到的局部图都和整体图形相似。无论如何放大，函数图像都不会显得更加平滑，不像可导函数那样越来越接近直线；仍然具有无限的细节，不存在单调的区间。

四色理论

四色理论首先是由Francis Guthrie于1852年发现的，当时他琢磨着在地图上把英格兰的每个国家都涂上颜色。当时可即没有网络，也没有各种工具可以使用，他能做的就是不停的尝试。经过一段时间的摸索，他惊奇地发现他最多只需要4种颜色就能保证相邻边界的国家之间具有不同的颜色。当时他就在想，这个理论是不是对任意形状的地图都是正确的，这个数学猜想被他提出之后，很久都没有被证明。
1976年即大约一个世纪之后，KennethAppel和Wolfgang Haken最终证明了这个数学理论的正确性。他们的证明相当复杂，并部分依赖于计算机（感兴趣的可以去搜索一下）。他们的最中结论就是对于任何行政地图，只要4种颜色就能保证相领的行政区域之间颜色不同。

Brouwer不动点定理

不动点理论来子数学的一个分支，拓扑数学。这个理论是由Luitzen Brouwer发现的。这个理论的具体严格表述是非常复杂的，也很难理解。但是在现实生活中，我们却能发现该理论的很多影射。例如我们把一副画完全复制了一遍，就拿《蒙娜丽莎》这幅画为例吧。我们把这幅画完完整整地复制了下来。现在我们可以对这个复制品做任何的动作，例如我们可以把这幅复制品放大，缩小，甚至揉得皱皱巴巴。不动点理论告诉我们，如果我们把这幅进行了蹂躏的复制品放到原画之上，那么至少有一点是和原画是完全重叠的。这个重合的点可以是蒙娜丽莎的眼睛，她的微笑，头发等等，但是这个点必定也必须存在。
不动点理论对三维空间也是适用的。假设我们有一杯水，我们拿一个勺子随意搅拌它。根据不动点理论，搅拌之后的水中必定有一个水分子跟搅拌之前的水处于完全相同的位置。

托里拆利小号

不要小看这个著名的托里拆利小号，虽然体积有限，但它的表面积达到无限。也就是说，你可以用油漆装满它，但是无法用油漆涂满它。

1=0.999⋯\cdots⋯

说到匪夷所思，上式不知让多少刚上大学的孩子匪夷所思到手足无措。

不过，你现在知道是为什么了吗？
什么，你还不知道。那么给出一个最严谨的证法
证明:
0.999⋯=lim⁡n→∞∑k=1n910k=lim⁡n→∞(1−110k)=1−lim⁡n→∞110k=1\large0.999\cdots=\lim_{n\to\infty}\sum\limits^{n}_{k=1}\frac{9}{10^k}=\lim_{n\to\infty}\left(1-\frac{1}{10^k}\right)=1-\lim_{n\to\infty}\frac{1}{10^k}=10.999⋯=n→∞limk=1∑n10k9=n→∞lim(1−10k1)=1−n→∞lim10k1=1

内切球问题

先把一个n维立方体拦腰切成个小立方体，作出每个小立方体的内切球。现在在这些内切球围成的空隙里再放一个球，使得它跟这些内切球都相切。
这个内切球会有多大？
喏，2维和3维下也就这么大咯，但是千万不要小看

9个匪夷所思的数学知识，你知道几个？
假如这个立方体是9维的，中心那个球就会跟大立方体内切！在更高维空间，中心的球甚至会凸出到立方体外面来！
凸出来！凸出来！凸出来！\Large\begin{aligned} &\fbox{\textcolor{red}{凸出来！}}\\ &\fbox{\textcolor{red}{凸出来！}}\\ &\fbox{\textcolor{red}{凸出来！}} \end{aligned}凸出来！凸出来！凸出来！

毛球定理

无论你怎么梳理一个毛球，总是有一个旋儿，永远没办法抚平。
毛球定理：一个球体表面不存在连续向量场。由布劳威尔在拓扑学中证明，这个定理要求三维或以上的空间。
以后可以在妹子面前装逼：你知道吗，无论何时地球上一定有个地方是没有风的，因为偶数维球面上连续向量场一定有奇点。同时打趣她说：
“哈哈，怪不得你的头发有个洞儿~” <(▰˘◡˘▰)>

欧拉公式

eπi+1=0\Large e^{πi}+1=0eπi+1=0
欧拉公式是这个系列中最强大的公式，也是世界上最完美的公式。这个公式是由历史上最多产的数学家Leonhard Euler所发现。他一生发表了800多篇论文，很多是在他失明之后发表的。

欧拉公式非常简单：eiπ+1=0e^{i\pi}+1=0eiπ+1=0。这里的eee和π\piπ都是常数，eee是自然指数，π\piπ是圆周率，这两个常数可以说是数学中最最重要，最最常用的两个常数。同时这两个数也是已知的最有名的无穷非循环小数。iii 是虚数的表示符号，即iii 是−1-1−1开方的结果。欧拉公式的神奇之处是它把5个数学中最常见的常数(e,i,π,0,1)(e,i,\pi,0,1)(e,i,π,0,1)用一种优雅的方式和谐地组合到了一起。不得不感叹自然界是如此和谐，如此美丽。著名的物理学家费曼曾今把欧拉公式评价为“数学中最神奇的公式”。欧拉公式的把各个不同的数学方向和谐一致地结合了起来。

火腿三明治定理

任意给定一个火腿三明治，总有一刀能把它切开，使得火腿、奶酪和面包片恰好都被分成两等份。

卡特兰定理

∑a2b(a−b)≥0\sum a^2b(a-b) \geq0∑a2b(a−b)≥0
卡特兰定理是指卡特兰于1907年发现的不等式：这是人类第一次发现纯三角形三边的可以取等不等式，另一个是两边之和大于第三边，但其取等却是退化的情况。
由于这个不等式的美妙形式，历来研究者甚众，也曾被选为第24届IMO试题（并且作为压轴题）