矩阵速记

1. 矩阵结论

1.1. 各种特殊矩阵的性质保持

A A A具有的性质 A − 1 A^{-1} A−1 A ⋆ A^\star A⋆ A T A^{T} AT k A kA kA A + B A+B A+B A B AB AB 附注
可逆 ✓ \checkmark ✓ ✓ \checkmark ✓ ✓ \checkmark ✓ k ≠ 0 k\neq 0 k​=0 × \times × ✓ \checkmark ✓ 过渡矩阵必可逆;
( k A ) ⋆ = k n − 1 A ⋆ , ∣ A ⋆ ∣ = ∣ A ∣ n − 1 (kA)^\star=k^{n-1}A^\star,\ \vert A^\star\vert = \vert A \vert ^{n-1} (kA)⋆=kn−1A⋆, ∣A⋆∣=∣A∣n−1;
Λ ( A − 1 ) = Λ − 1 ( A ) , Λ ( A ⋆ ) = ∣ A ∣ / Λ ( A ) \Lambda(A^{-1})=\Lambda^{-1}(A),\ \Lambda(A^\star)=\vert A\vert /\Lambda(A) Λ(A−1)=Λ−1(A), Λ(A⋆)=∣A∣/Λ(A);
正(负)定必可逆
对称 ✓ \checkmark ✓ ✓ \checkmark ✓ ✓ \checkmark ✓ ✓ \checkmark ✓ ✓ \checkmark ✓ × \times × A A A反 B B B对，则 A B − B A AB-BA AB−BA对称;
任意矩阵 C C C： C T C C^TC CTC对称(取转置);
实对称阵特征值全实1;
实对称阵必可正交相似于对角阵;
属于实对称阵不同特征值的特征子空间彼此正交2
反
对称 		✓ \checkmark ✓ 奇对
偶反
3 		✓ \checkmark ✓ ✓ \checkmark ✓ ✓ \checkmark ✓ × \times × d e t ( A ) = 0 det(A)=0 det(A)=0 (奇数阶);
λ ∑ X i 2 = X T A x = − X T A T X = \lambda \sum X_i^2=X^TAx= -X^TA^TX= λ∑Xi2​=XTAx=−XTATX=
− ( A X ) T X = − λ ∑ X i 2 = 0 ⇒ Λ = O -(AX)^TX\ \ =-\lambda \sum X_i^2=0\Rightarrow \Lambda=O −(AX)TX  =−λ∑Xi2​=0⇒Λ=O;
A 2 A^2 A2 对称
正交 ✓ \checkmark ✓ ✓ \checkmark ✓ ✓ \checkmark ✓ k = ± 1 k=\pm1 k=±1 × \times × ✓ \checkmark ✓ d e t ( A ) = ± 1 det(A)=\pm 1 det(A)=±1;
正定 ✓ \checkmark ✓ ✓ \checkmark ✓ ✓ \checkmark ✓ k > 0 k>0 k>0 ✓ \checkmark ✓4 A B = B A AB=BA AB=BA5;
A B A ABA ABA必正定 		度量矩阵必正定;
正定定义： ∀ X ≠ 0 → , X T A X > 0 \forall X\neq \overrightarrow{0}, X^TAX>0 ∀X​=0 ,XTAX>0;
任意矩阵 C C C： C T C C^TC CTC半正定6;
绝对值最大元必在主对角线上7;
涉及到 A + k E A+kE A+kE正定性：用 Q T ( A + k E ) Q = [ k + λ 1 ⋱ k + λ n ] Q^T(A+kE)Q =\left[\begin{matrix} k+\lambda_1 \\ & \ddots \\ & & k+\lambda_n \end{matrix}\right] QT(A+kE)Q=⎣⎡​k+λ1​​⋱​k+λn​​⎦⎤​
或 Λ ( P ( A ) ) = P ( Λ ( A ) ) \Lambda(\mathcal{P}(A))=\mathcal{P}(\Lambda(A)) Λ(P(A))=P(Λ(A)) ;
涉及到 k X T X kX^TX kXTX：用 A = Q Λ Q T , A=Q\Lambda Q^T, A=QΛQT,
X T A X = X T Q Λ Q T X = Y T Λ Y X^{T}AX=X^{T}Q\Lambda Q^{T}X=Y^{T}\Lambda Y XTAX=XTQΛQTX=YTΛY
≷ k Y T Y = k X T Q Q T X = k X T X \gtrless kY^{T}Y = kX^{T}QQ^{T}X = kX^{T}X ≷kYTY=kXTQQTX=kXTX
幂零 不可 ✓ \checkmark ✓ ✓ \checkmark ✓ ✓ \checkmark ✓ × \times × A B = B A AB=BA AB=BA A k = 0 ⇒ A k X = λ k X = 0 ⇒ Λ = O A^k=0 \Rightarrow A^kX=\lambda ^k X=0\Rightarrow \Lambda=O Ak=0⇒AkX=λkX=0⇒Λ=O
d e t ( A ± E ) = ( ± 1 ) n det(A\pm E)=(\pm 1)^n det(A±E)=(±1)n8

1.2. 初等阵

mat det -1 T 附注
E ( i , j ) E(i, j) E(i,j) − ∣ E ∣ = − 1 -\vert E\vert=-1 −∣E∣=−1 self self 是正交阵
E ( i ( k ) ) E(i(k)) E(i(k)) k ∣ E ∣ = k k\vert E\vert=k k∣E∣=k E ( i , 1 k ) E(i, \frac{1}{k}) E(i,k1​) self \
E ( i , j ( k ) ) E(i, j(k)) E(i,j(k)) ∣ E ∣ = 1 \vert E\vert=1 ∣E∣=1 E ( i , j ( − k ) ) E(i, j(-k)) E(i,j(−k)) E ( j , i ( k ) ) E(j, i(k)) E(j,i(k)) r i + = k × r j r_i += k\times r_{j} ri​+=k×rj​

1.3. 秩

结论 附注
P , Q P,Q P,Q可逆， R ( A ) = R ( P A ) = R ( A Q ) = R ( P A Q ) R(A)=R(PA)=R(AQ)=R(PAQ) R(A)=R(PA)=R(AQ)=R(PAQ) 相抵保秩
R ( [ A O O B ] ) = R ( A ) + R ( B ) R(\left[\begin{matrix} A & O \\ O & B \end{matrix}\right]) = R(A)+R(B) R([AO​OB​])=R(A)+R(B) 相抵标准型
R ( A B ) ≤ min ⁡ { R ( A ) , R ( B ) } R(AB) \le \min\{R(A), R(B)\} R(AB)≤min{R(A),R(B)} s q u ( A B ) ≥ max ⁡ { s q u ( A ) , s q u ( B ) } squ(AB)\ge \max\{squ(A), squ(B)\} squ(AB)≥max{squ(A),squ(B)}
R ( A B ) ≥ R ( A ) + R ( B ) − n R(AB) \ge R(A)+R(B)-n R(AB)≥R(A)+R(B)−n s q u ( A B ) ≤ s q u ( A ) + s q u ( B ) squ(AB) \le squ(A)+squ(B) squ(AB)≤squ(A)+squ(B)
A B = O → R ( A ) + R ( B ) ≤ n AB=O \rightarrow R(A)+R(B) \le n AB=O→R(A)+R(B)≤n 上面的特殊情况
R ( A ) − R ( B ) ≤ R ( A ± B ) ≤ R ( A ) + R ( B ) R(A)-R(B) \le R(A \pm B) \le R(A)+R(B) R(A)−R(B)≤R(A±B)≤R(A)+R(B) 联想绝对值三角

1.4. 迹

结论 附注
任何可乘的 A , B A, B A,B， t r ( A B ) = t r ( B A ) tr(AB) = tr(BA) tr(AB)=tr(BA) 乘法过程

2. 变换结论

约定：某一向量在基底 A A A 下坐标为 X X X，在基底 B B B 下坐标为 Y Y Y。 A A A 到 B B B 的过渡矩阵是 P P P，即： { A P = B X = P Y \begin{cases}AP=B \\X=PY \end{cases} {AP=BX=PY​

2.1. 相似变换的代数过程

  • 现有一线性变换，变换矩阵在 A A A 下是 T T T，在 B B B 下是 S S S，变换后新向量在两基底下坐标分别记为 X 1 , Y 1 X_1, Y_1 X1​,Y1​

  • 即： { Y 1 = S Y Y 1 = P − 1 T P Y \begin{cases}Y_1 = SY \\Y_1 = P^{-1}TPY \\\end{cases} {Y1​=SYY1​=P−1TPY​9 和 { X 1 = T X X 1 = P S P − 1 X \begin{cases}X_1 = TX \\X_1 = PSP^{-1}X \\\end{cases} {X1​=TXX1​=PSP−1X​

  • 则有：  S = P − 1 T P S=P^{-1}TP S=P−1TP 和 T = P S P − 1 T=PSP^{-1} T=PSP−1

  • 当 A A A 是 E E E 时， P = B P=B P=B，上式化为： S = B − 1 T B S=B^{-1}TB S=B−1TB 和 T = B S B − 1 T=BSB^{-1} T=BSB−1

2.2. 合同变换的代数过程

  • 现有一双线性型运算，度量矩阵在 A A A 下是 T T T，在 B B B 下是 S S S，做内积的对象在两基底下坐标分别记为 X 1 , Y 1 X_1, Y_1 X1​,Y1​

  • 则： { ( Y , Y 1 ) = Y T S Y 1 ( Y , Y 1 ) = ( P Y ) T T P Y 1 = Y T P T T P Y 1 \begin{cases}(Y,Y_1) = Y^TSY_1 \\(Y,Y_1) = (PY)^TTPY_1 = Y^TP^TTPY_1 \\\end{cases} {(Y,Y1​)=YTSY1​(Y,Y1​)=(PY)TTPY1​=YTPTTPY1​​ 和 { ( X , X 1 ) = X T T X 1 ( X , X 1 ) = ( P − 1 X ) T S P − 1 X 1 = X T ( P − 1 ) T S P − 1 X 1 \begin{cases}(X,X_1) = X^TTX_1 \\(X,X_1) = (P^{-1}X)^TSP^{-1}X_1 = X^T(P^{-1})^TSP^{-1}X_1 \\\end{cases} {(X,X1​)=XTTX1​(X,X1​)=(P−1X)TSP−1X1​=XT(P−1)TSP−1X1​​

  • 则有： S = P T T P S=P^TTP S=PTTP 和 T = ( P T ) − 1 S P − 1 T=(P^T)^{-1}SP^{-1} T=(PT)−1SP−1

  • 当 A A A 是 E E E 时， P = B P=B P=B，前式化为： S = B T T B S=B^TTB S=BTTB 和 T = ( B T ) − 1 S B − 1 T=(B^T)^{-1}SB^{-1} T=(BT)−1SB−1

2.3. 四大变换

变换 F 不变量 标准型 附注
相抵 R m × n R^{m\times n} Rm×n R R R 相抵标准形
[ E r O O O ] \left[\begin{matrix} E_r & O \\ O & O \end{matrix}\right] [Er​O​OO​] 		不降维的变换(保持秩)
相似 R n × n R^{n\times n} Rn×n R R R，特征( Λ , d e t , t r \Lambda, det, tr Λ,det,tr) 特征对角阵
[ λ 1 ⋱ λ n ] \left[\begin{matrix} \lambda_1 \\ & \ddots \\ & & \lambda_n \end{matrix}\right] ⎣⎡​λ1​​⋱​λn​​⎦⎤​ 		换基时线性变换的变换
线性变换本质(特征)不变
描述(变换矩阵)改变
T ∼ S , S = P − 1 T P T\sim S,\ S=P^{-1}TP T∼S, S=P−1TP
合同 R n × n R^{n\times n} Rn×n (实对称) R R R，正定性( p , q p,q p,q)，对称性 二次型标准形
[ E p E q O ] \left[\begin{matrix} E_p \\ & E_q \\ & & O \end{matrix}\right] ⎣⎡​Ep​​Eq​​O​⎦⎤​ 		换基时双线性型的变换
双线性型本质(拓扑)不变
描述(度量矩阵)改变
T = ˙ S , S = P T T P T\dot= S,\ S=P^TTP T=˙S, S=PTTP
正交
相似 		R n × n R^{n\times n} Rn×n (实对称) R R R，特征( Λ , d e t , t r \Lambda, det, tr Λ,det,tr)，
正定性( p , q p,q p,q)，对称性 		特征对角阵
[ λ 1 ⋱ λ n ] \left[\begin{matrix} \lambda_1 \\ & \ddots \\ & & \lambda_n \end{matrix}\right] ⎣⎡​λ1​​⋱​λn​​⎦⎤​ 		特殊换基(旋转/反映/反演)
同时保持上两者性质

  1. 实对称阵特征值全实： X ∈ { C n − O } , λ ∈ C : A X = λ X X\in \{\mathbb{C}^n-O\}, \lambda \in \mathbb{C}: AX=\lambda X X∈{Cn−O},λ∈C:AX=λX
    ⇒ X ‾ T A X = X ‾ λ X = λ X ‾ X = λ ∑ X i 2 \Rightarrow\ \overline{X}^TAX=\overline{X}\lambda X=\lambda \overline{X}X=\lambda \sum{X_i^2} ⇒ XTAX=XλX=λXX=λ∑Xi2​。
    又 X ‾ T A X ‾ = ( X ‾ T A X ) T ‾ = X ‾ T A ‾ T X = X ‾ T A X \overline{\overline{X}^TAX}=\overline{(\overline{X}^TAX)^T}=\overline{X}^T\overline{A}^TX=\overline{X}^TAX XTAX=(XTAX)T​=XTATX=XTAX，即 X ‾ T A X ∈ R \overline{X}^TAX \in \mathbb{R} XTAX∈R
    故 λ \lambda λ 可以写成一个实数除以 ∑ X i 2 \sum{X_i^2} ∑Xi2​ 这个非零实数，结果必定是实数，证毕！
    ↩︎

  2. 实对称阵特征子空间正交： X 1 , X 2 ∈ { R n − O } , λ 1 , λ 2 ∈ R : X_1, X_2\in \{\mathbb{R}^n-O\}, \lambda_1, \lambda_2 \in \mathbb{R}: X1​,X2​∈{Rn−O},λ1​,λ2​∈R:
    λ 1 X 1 T = X 1 T A T = X 1 T A \lambda_1X_1^T=X_1^TA^T=X_1^TA λ1​X1T​=X1T​AT=X1T​A
    ⇒ λ 1 X 1 T X 2 = X 1 T A X 2 = λ 2 X 1 T X 2 \Rightarrow \ \lambda_1X_1^TX_2=X_1^TAX_2=\lambda_2X_1^TX_2 ⇒ λ1​X1T​X2​=X1T​AX2​=λ2​X1T​X2​
    ⇒ ( λ 1 − λ 2 ) X 1 T X 2 = 0 \Rightarrow \ (\lambda_1-\lambda_2)X_1^TX_2=0 ⇒ (λ1​−λ2​)X1T​X2​=0，显然证毕！
    ↩︎

  3. 反对称阵的伴随（奇对偶反）： ( A ⋆ ) T = ( A T ) ⋆ = ( − A ) ⋆ = ( − 1 ) n − 1 A ⋆ (A^\star)^T=(A^T)^\star=(-A)^\star=(-1)^{n-1}A^\star (A⋆)T=(AT)⋆=(−A)⋆=(−1)n−1A⋆
    ↩︎

  4. 证和矩阵的正定性：常用定义（ ∀ X ≠ 0 → , X T A X > 0 \forall X\neq \overrightarrow{0}, X^TAX>0 ∀X​=0 ,XTAX>0）证正定进而证可逆。
    如果 A , B A, B A,B并不是正定的而是实对称+反对称的，可能还会涉及
    X T ( A + B ) T ( A + B ) X = X T A T A X + X T ( A T B + B T A ) X + X T B T B X X^T(A+B)^T(A+B)X=X^TA^TAX+X^T(A^TB+B^TA)X+X^TB^TBX XT(A+B)T(A+B)X=XTATAX+XT(ATB+BTA)X+XTBTBX
    ↩︎

  5. A B = B A AB=BA AB=BA证 A B AB AB正定： A A A正定则合同于 E E E，即存在可逆阵 P P P： P T A P = E P^TAP=E PTAP=E
    P P P可逆， A B AB AB实对称则 P T A B P P^TABP PTABP仍实对称，故可相似对角化，即即存在正交阵 Q Q Q： Q T P T A B P Q = Λ Q^TP^TABPQ=\Lambda QTPTABPQ=Λ
    带入 A = ( P T ) − 1 P − 1 A=(P^T)^{-1}P^{-1} A=(PT)−1P−1得 Λ = Q T P T ( P T ) − 1 P − 1 B P Q = ( P Q ) − 1 B P Q \Lambda=Q^TP^T(P^T)^{-1}P^{-1}BPQ=(PQ)^{-1}BPQ Λ=QTPT(PT)−1P−1BPQ=(PQ)−1BPQ
    因此 Λ \Lambda Λ正定，因此 P T A B P P^TABP PTABP正定，因此 A B AB AB正定，证毕！
    ↩︎

  6. 任意矩阵 C C C， C T C C^TC CTC半正定： X T C T C X = ( C X ) T C X = ∑ ( C X ) i 2 ≥ 0 ⇒ C T C X^TC^TCX=(CX)^TCX=\sum (CX)_{i}^2 \ge 0 \Rightarrow C^TC XTCTCX=(CX)TCX=∑(CX)i2​≥0⇒CTC半正定。
    ↩︎

  7. 正定阵绝对值最大元必在主对角线上，反证法：记绝对值最大元在 a i j , i < j a_{ij}, i < j aij​,i<j，设列向量 X = ϵ i − ϵ j X=\epsilon_i-\epsilon_j X=ϵi​−ϵj​
    则 X T A X = ( a i i − a j i ) − ( a i j − a j j ) = a i i + a j j − 2 a i j < 0 X^TAX=(a_{ii}-a_{ji})-(a_{ij}-a_{jj})=a_{ii}+a_{jj}-2a_{ij}<0 XTAX=(aii​−aji​)−(aij​−ajj​)=aii​+ajj​−2aij​<0，与正定矛盾。
    ↩︎

  8. 幂零阵 d e t ( A ± E ) = ( ± 1 ) n det(A\pm E)=(\pm 1)^n det(A±E)=(±1)n： Λ ( A ) = O , Λ ( P ( A ) ) = P ( Λ ( A ) ) \Lambda(A)=O, \Lambda(\mathcal{P}(A))=\mathcal{P}(\Lambda(A)) Λ(A)=O,Λ(P(A))=P(Λ(A))
    ⇒ Λ ( A ± E ) = ± 1 \Rightarrow \Lambda(A\pm E)=\pm 1 ⇒Λ(A±E)=±1
    ⇒ d e t ( A ± E ) = ( ± 1 ) n \Rightarrow det(A\pm E)=(\pm 1)^n ⇒det(A±E)=(±1)n
    ↩︎

  9. Y 1 = P − 1 T P Y Y_1 = P^{-1}TPY Y1​=P−1TPY 详细变换过程： Y 1 = P − 1 X 1 = P − 1 T X = P − 1 T P Y Y_1 = P^{-1}X_1 = P^{-1}TX = P^{-1}TPY Y1​=P−1X1​=P−1TX=P−1TPY ↩︎

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