总结利用秩为1的矩阵相关矩阵的秩的计算问题

@(线性代数)

对于一个秩为1的矩阵，常常给定的是一个列向量与自己的转置之积。

http://blog.csdn.net/u011240016/article/details/52805663

http://blog.csdn.net/u011240016/article/details/52869027

回顾前面两篇关于秩为1的矩阵的基础推导。

再来看一道习题的运用。

（2012.13）设α\alpha是三维单位列向量，E是三阶单位矩阵，则矩阵E−ααTE-\alpha\alpha^T的秩为？

分析：如果直接根据r(ααT)=1r(\alpha\alpha^T) = 1,蒙2，结果也是对的，但是这个做法是错的，并不推荐。

正确解法是：根据单位向量，可知道α\alpha的绩为1，再根据秩为1的矩阵：

r(A)=1的矩阵，天生有当特征值为0时的n-1个线性无关的特征向量。

证明：方程组：Ax = 0,根据系数矩阵的秩为1，因此解向量有n-1个线性无关向量。

也即矩阵A至少有n-1重特征值。根据(0⋅E−A)=0→λ=0(0\cdot E - A) = 0 \rightarrow \lambda = 0是n-1重特征值。

再由∑ni=1λi=∑ni=1aii\sum_{i=1}^n\lambda_i = \sum_{i=1}^na_{ii}
可以求得λn\lambda_n,这个需要具体问题具体分析，如果得到的λn=0\lambda_n = 0,则说明有n重特征值均为0.

因此，ααT\alpha\alpha^T的特征值是1，0，0.

于是，E−ααTE-\alpha\alpha^T的特征值是0，1，1.

且E−ααTE-\alpha\alpha^T是对称矩阵，因此，E-A可以相似对角化，得到r(E−ααTE-\alpha\alpha^T) = 2.

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