用列表法分析1500年前南北朝时期的“奥数”题
偶然发现一道小学奥数题，题目如下：
老师给全班同学排队，每3个人站一排，最后一排只有2个人；每5个人站一排，最后一排为3个人；每7个人站一排，最后一排为2个人，请问全班最少多少名同学？
此题看似一般，但经查阅，却极有渊源，原来题目源于《孙子算经》，此书著于南北朝时期，作者不详，与春秋时期《孙子兵法》的作者并非一人。
目录
一、《孙子算经》之“物不知数”
1、原文及译文
2、计算公式
3、剩余定理
二、规律探索
1、《孙子歌诀》
2、表格解析
（1）最小公倍数105的解析
（2）除7的余数对应系数15的解析
（3）除5的余数对应系数21的解析
（4）除3的余数对应系数70的解析
（5）《孙子算经》“不知其数”结果分析
三、为什么要研究算法
1、效率最低的算法
2、高级一点的算法
3、孙子算经算法
一、《孙子算经》之“物不知数”
1、原文及译文
《孙子算经》卷下第二十六题“物不知数”原文如下：
今有物，不知其数。三三数之，剩二；五五数之，剩三；七七数之，剩二。问：物几 何？
答曰：二十三。
术曰：三三数之，剩二，置一百四十；五五数之，剩三，置六十三；七七数之，剩二 ，置三十。并之，得二百三十三，以二百一十减之，即得。凡三三数之，剩一，则置七十 ；五五数之，剩一，则置二十一；七七数之，剩一，则置十五。一百六以上，以一百五 减之，即得。
“物不知数”的译文如下：
现有一些物品，具体数目不详。3个3个数，最后剩2个；5个5个数，最后剩3个；7个7个数，最后剩2个，问这些物品多少个？
答案：23个
解题思路：3个3个数，余数是2，余数乘以70等于140；5个5个数，余数是3，余数乘以21等于63；7个7个数，余数2，余数乘以15等于30。把以上三个得数加起来就是140+63+30=233。这个数大于3*5*7的最小公倍数105，所以要减去若干次105直到小于105为止，经过减两次105共210，得出答案：233-210=23。解题规律：3个3个数，用其余数乘以70；5个5个数，用其余数乘以21；7个7个数，用其余数乘以15；再把三个得数相加起来，如果得数大于等于106，那么就减去若干次105，直到小于105，就是正确答案。
2、计算公式
根据孙子算经得出计算得公式为：被除数=除3余数×70+除5余数×21+除7余数×15，如果大于105，则减若干次105，直至小于105时为止，得到的那个数就是正确答案。
注意：“不知其数”原文中省略了是符合条件的最小数，本文以下介绍的内容，也默认是符合条件的最小数。
3、剩余定理
“物不知数”文中不但给出了题目、答案，还给出了解题的技巧和规律。宋朝数学家秦九韶于1247年《数书九章》卷一、二《大衍类》对“物不知数”问题做出了完整系统的解答，进一步开创了对一次同余式理论的研究工作，推广了“”。德国数学家高斯于公元1801年出版的《算术探究》中明确地写出了上述定理。公元1852年，英国基督教士伟烈亚士将《孙子算经》“物不知数”问题的解法传到欧洲，公元1874年马蒂生[L.Mathiesen]指出孙子的解法符合高斯的定理，从而在西方的数学史里将这一个定理称为“中国的剩余定理”[Chinese remainder theorem]。
下图是用现代数学语言来解决“物不知数”问题的解题公式：
二、规律探索
利用现代数学方法，可以推导出此公式，那么早在1500年前，我国古人又是怎么发现此问题的解题规律的呢？下面，小编就用列表法尝试着推测一下古人的解题思路。
1、《孙子歌诀》
仔细研读“物不知数”的解题思路发现，这道题的解题关键是发现了3个3个数、5个5个数、7个7个数的余数要乘的那3个系数70、21、15，和周期数105。明朝数学家程大位将解法规律所确定的这四个数编成易于上口的《孙子歌诀》：
三人同行七十稀，五树梅花廿一支，七子团圆正半月，除百零五使得知。
那么这四个数是怎么发现的呢？
2、利用列表法分析
（1）最小公倍数105的分析
下边先看表1，列出了被除数从0到105时，除数为3、5、7所对应的余数。那么被除数为0和105时余数都为0，从106开始又是和1是一样的，所以规律的周期就是105。也就是互质数3、5、7的最小公倍数。
表1 余数总表
| 被除数 | 除数为3 | 除数为5 | 除数为7 |
| 0 | 0 | 0 | 0 |
| 1 | 1 | 1 | 1 |
| 2 | 2 | 2 | 2 |
| 3 | 0 | 3 | 3 |
| 4 | 1 | 4 | 4 |
| 5 | 2 | 0 | 5 |
| 6 | 0 | 1 | 6 |
| 7 | 1 | 2 | 0 |
| 8 | 2 | 3 | 1 |
| 9 | 0 | 4 | 2 |
| 10 | 1 | 0 | 3 |
| 11 | 2 | 1 | 4 |
| 12 | 0 | 2 | 5 |
| 13 | 1 | 3 | 6 |
| 14 | 2 | 4 | 0 |
| 15 | 0 | 0 | 1 |
| 16 | 1 | 1 | 2 |
| 17 | 2 | 2 | 3 |
| 18 | 0 | 3 | 4 |
| 19 | 1 | 4 | 5 |
| 20 | 2 | 0 | 6 |
| 21 | 0 | 1 | 0 |
| 22 | 1 | 2 | 1 |
| 23 | 2 | 3 | 2 |
| 24 | 0 | 4 | 3 |
| 25 | 1 | 0 | 4 |
| 26 | 2 | 1 | 5 |
| 27 | 0 | 2 | 6 |
| 28 | 1 | 3 | 0 |
| 29 | 2 | 4 | 1 |
| 30 | 0 | 0 | 2 |
| 31 | 1 | 1 | 3 |
| 32 | 2 | 2 | 4 |
| 33 | 0 | 3 | 5 |
| 34 | 1 | 4 | 6 |
| 35 | 2 | 0 | 0 |
| 36 | 0 | 1 | 1 |
| 37 | 1 | 2 | 2 |
| 38 | 2 | 3 | 3 |
| 39 | 0 | 4 | 4 |
| 40 | 1 | 0 | 5 |
| 41 | 2 | 1 | 6 |
| 42 | 0 | 2 | 0 |
| 43 | 1 | 3 | 1 |
| 44 | 2 | 4 | 2 |
| 45 | 0 | 0 | 3 |
| 46 | 1 | 1 | 4 |
| 47 | 2 | 2 | 5 |
| 48 | 0 | 3 | 6 |
| 49 | 1 | 4 | 0 |
| 50 | 2 | 0 | 1 |
| 51 | 0 | 1 | 2 |
| 52 | 1 | 2 | 3 |
| 53 | 2 | 3 | 4 |
| 54 | 0 | 4 | 5 |
| 55 | 1 | 0 | 6 |
| 56 | 2 | 1 | 0 |
| 57 | 0 | 2 | 1 |
| 58 | 1 | 3 | 2 |
| 59 | 2 | 4 | 3 |
| 60 | 0 | 0 | 4 |
| 61 | 1 | 1 | 5 |
| 62 | 2 | 2 | 6 |
| 63 | 0 | 3 | 0 |
| 64 | 1 | 4 | 1 |
| 65 | 2 | 0 | 2 |
| 66 | 0 | 1 | 3 |
| 67 | 1 | 2 | 4 |
| 68 | 2 | 3 | 5 |
| 69 | 0 | 4 | 6 |
| 70 | 1 | 0 | 0 |
| 71 | 2 | 1 | 1 |
| 72 | 0 | 2 | 2 |
| 73 | 1 | 3 | 3 |
| 74 | 2 | 4 | 4 |
| 75 | 0 | 0 | 5 |
| 76 | 1 | 1 | 6 |
| 77 | 2 | 2 | 0 |
| 78 | 0 | 3 | 1 |
| 79 | 1 | 4 | 2 |
| 80 | 2 | 0 | 3 |
| 81 | 0 | 1 | 4 |
| 82 | 1 | 2 | 5 |
| 83 | 2 | 3 | 6 |
| 84 | 0 | 4 | 0 |
| 85 | 1 | 0 | 1 |
| 86 | 2 | 1 | 2 |
| 87 | 0 | 2 | 3 |
| 88 | 1 | 3 | 4 |
| 89 | 2 | 4 | 5 |
| 90 | 0 | 0 | 6 |
| 91 | 1 | 1 | 0 |
| 92 | 2 | 2 | 1 |
| 93 | 0 | 3 | 2 |
| 94 | 1 | 4 | 3 |
| 95 | 2 | 0 | 4 |
| 96 | 0 | 1 | 5 |
| 97 | 1 | 2 | 6 |
| 98 | 2 | 3 | 0 |
| 99 | 0 | 4 | 1 |
| 100 | 1 | 0 | 2 |
| 101 | 2 | 1 | 3 |
| 102 | 0 | 2 | 4 |
| 103 | 1 | 3 | 5 |
| 104 | 2 | 4 | 6 |
| 105 | 0 | 0 | 0 |
从表1可以看出，根据三个余数，就可以找到对应的被除数。那么我们不可能去每给出一组余数，我们就去查一次表，我们需要去寻找这个被除数和每组余数之间的规律，根据规律来快速计算出结果。寻找规律要由最简单的情形开始，当两个除数的对应余数是固定的且都为0时，看看第三个除数对应的余数依次增加1时的规律。
（2）除7的余数对应系数15的解析
假如当除3、除5的余数都是0时，当除7余数以步伐为1从0递增到6时，我们来看看被除数有什么变化规律？从表1中筛选出除3余0并且除5余0的情况如表2所示。
表2 除3余0且除5余0表
| 被除数 | 除数为3 | 除数为5 | 除数为7 |
| 0 | 0 | 0 | 0 |
| 15 | 0 | 0 | 1 |
| 30 | 0 | 0 | 2 |
| 45 | 0 | 0 | 3 |
| 60 | 0 | 0 | 4 |
| 75 | 0 | 0 | 5 |
| 90 | 0 | 0 | 6 |
从表2可以看出，搜出数据一共7行，正好对应余数从0到6，而且余数是依次加1的。除7余0对应的被除数为0，除7余1对应的被除数为15，除7余2对应的被除数为30，……，依次增加15！这就是除7余数对应的系数为15的原因，且15=3*5，为除数7之外的两个除数最小公倍数。
（3）除5的余数对应系数21的解析
同样，假如当除3、除7的余数都是0，当除5余数每增加1时，我们来看看被除数有什么变化规律？从表1中筛选出除3余0并且除7余0的情况如表3所示。
表3 除3余0并且除7余0表
| 被除数 | 除数为3 | 除数为5 | 除数为7 |
| 0 | 0 | 0 | 0 |
| 21 | 0 | 1 | 0 |
| 42 | 0 | 2 | 0 |
| 63 | 0 | 3 | 0 |
| 84 | 0 | 4 | 0 |
从表3可以看出，搜出数据一共5行，正好对应余数从0到4，而且余数是依次加1的。除5余0对应的被除数为0，除5余1对应的被除数为21，除5余2对应的被除数为42，……，依次增加21！这就是除5余数对应的系数为21的原因，且21=3*7，为除数5之外的两个除数最小公倍数。
（4）除3的余数对应系数70的解析
同样，假如当除5、除7的余数都是0，当除3余数每增加1时，我们来看看被除数有什么变化规律？从表1中筛选出除5余0并且除7余0的情况如表4所示。
表4 除5余0并且除7余0表
| 被除数 | 除数为3 | 除数为5 | 除数为7 |
| 0 | 0 | 0 | 0 |
| 35 | 2 | 0 | 0 |
| 70 | 1 | 0 | 0 |
从表4可以看出，搜出数据一共3行，正好对应余数从0到2，每行的被除数增值为35。但是余数却不是依次加1，而是0、2、1，从0到1跨过了2，也就是从0到1被除数增值为70！这条规律与前两条是不同的。这就是除3余数对应的系数为70的原因。
为了更清楚地看出规律，我们从两个周期210个被除数中搜索除5余0、除7余0的情况，如表5所示，除数为3所在列第一行余数为0，被除数为0；第三行余数为1，被除数为70；第五行余数为2，被除数为140。除3列余数的规律为隔行增加1，余数0、1对应的被除数在第一个周期105以内，而余数2对应的被除数是在下一个周期105-210之内。这也就是为什么会出现计算结果大于105的原因。
表5 除5余0并且除7余0两个周期表
| 被除数 | 除数为3 | 除数为5 | 除数为7 |
| 0 | 0 | 0 | 0 |
| 35 | 2 | 0 | 0 |
| 70 | 1 | 0 | 0 |
| 105 | 0 | 0 | 0 |
| 140 | 2 | 0 | 0 |
| 175 | 1 | 0 | 0 |
（5）《孙子算经》“不知其数”结果分析
按着“不知其数”的题目，我们以除3余2，除5余3，除7余2为例进行分析。
按照公式，计算结果如下：
被除数=2×70+3×21+2×15=233，233-105=128，128-105=23。
减了两次105，才得出结果，那么还用列表来分析一下，为什么会减两次。
（a）先看当除3余2且除5余3时，除7余数的两个周期的规律如表6所示，余数为2在两个周期都出现了，那么哪一个才是正确的那个呢？
下边给出一条定律（暂称爬爬虫定律1）：余数为0所在的第一行为起始行，其后依次出现的1、2、3……对应的行所在的周期就是被除数所在最小周期。
根据以上定律，除数为7的余数一共有两个周期，余数为0的起始位是在第7行，其后的余数1在第8行，余数1之后的余数2在第9行，对应的被除数为128，在区间[105，210]内，属于第二个周期。所以按照除7列，计算结果所在最小的周期为第二个周期。
表6 除3余2且除5余3两个周期表
| 被除数 | 除数为3 | 除数为5 | 除数为7 |
| 8 | 2 | 3 | 1 |
| 23 | 2 | 3 | 2 |
| 38 | 2 | 3 | 3 |
| 53 | 2 | 3 | 4 |
| 68 | 2 | 3 | 5 |
| 83 | 2 | 3 | 6 |
| 98 | 2 | 3 | 0 |
| 113 | 2 | 3 | 1 |
| 128 | 2 | 3 | 2 |
| 143 | 2 | 3 | 3 |
| 158 | 2 | 3 | 4 |
| 173 | 2 | 3 | 5 |
| 188 | 2 | 3 | 6 |
| 203 | 2 | 3 | 0 |
（b）再看当除3余2且除7余2时，除5余数的两个周期的规律如表7所示，余数为3在两个周期都出现了，那么哪一个才是正确的那个呢？
表7 除3余2且除7余2两个周期表
| 被除数 | 除数为3 | 除数为5 | 除数为7 |
| 2 | 2 | 2 | 2 |
| 23 | 2 | 3 | 2 |
| 44 | 2 | 4 | 2 |
| 65 | 2 | 0 | 2 |
| 86 | 2 | 1 | 2 |
| 107 | 2 | 2 | 2 |
| 128 | 2 | 3 | 2 |
| 149 | 2 | 4 | 2 |
| 170 | 2 | 0 | 2 |
| 191 | 2 | 1 | 2 |
根据爬爬虫定律1，先找到余数0所在行，为第4行，然后依次找到余数1、2、3所在的行分别为5、6、7，第7行对应的被除数为128，在[105,210]之间，属于第二个周期。所以按照除5列，计算结果也在第二个周期。
（c）最后看当除5余3且除7余2时，除3余数的三个周期的规律如表8所示，余数为2在三个周期都出现了，那么哪一个才是正确的那个呢？
表8 除5余3且除7余2三个周期表
| 被除数 | 除数为3 | 除数为5 | 除数为7 |
| 23 | 2 | 3 | 2 |
| 58 | 1 | 3 | 2 |
| 93 | 0 | 3 | 2 |
| 128 | 2 | 3 | 2 |
| 163 | 1 | 3 | 2 |
| 198 | 0 | 3 | 2 |
| 233 | 2 | 3 | 2 |
| 268 | 1 | 3 | 2 |
| 303 | 0 | 3 | 2 |
根据爬爬虫定律1，先找到余数0所在的起始行为第3行，其后的余数1在第5行，余数1之后的余数2在第7行，该行对应的被除数为233，在区间[210,315]之内，属于第三个周期。所以按照除3列，计算结果在第三个周期。
那么问题又来了，按照除7列，计算结果在第二周期，按照除5列，计算结果在第二周期，按照除3列，计算结果在第三周期。那么到底是在第二周期还是第三周期呢？
爬爬虫定律2：被除数所在周期为所有除数列计算出的周期中的最大周期。
根据爬爬虫定律2，第三周期为最大周期，也就是最终计算结果落在第三周期，那么105以内的最小值就是在计算结果上减去两个周期，即233-2×105=33。
至此，用列表法圆满解释了《孙子算经》之“不知其数”问题的三个系数、最小公倍数和计算结果减去周期个数的规律。
三、为什么要研究算法
有人说：“现在都有计算机了，还搞那么复杂干啥，你花了好几天时间，写了一大堆，还不如花几分钟时间写个程序计算一下，又快又准。”于是呼呼呼，写出了以下代码：
1、效率最低的算法
#include <stdio.h>
#include <string.h>int main()
{int r3,r5,r7,d,i;scanf("%d %d %d",&r3,&r5,&r7); for(i=0;i<105;i++){d=i;if((i % 7)==r7) && (i % 5)==r5 && (i % 3)==r3)break;} printf("所求的数为：%d\n",d); return d;
}这种遍历的方法确实能算出答案，但效率太低，最多需要105+15+3=123步计算，说是算出来的，不如说是比对出来的，严格来说，都不能叫算法。
2、高级一点的算法
#include <stdio.h>
#include <string.h>int main()
{int r3,r5,r7,d,i,j; scanf("%d %d %d",&r3,&r5,&r7); j=0;for(i=0;i<15;i++){d=i*7+r7;if((d % 5)==r5){j++;if((d % 3)==r3){break;}}} printf("所求的数为：%d\n",d); printf("计算步数为：%d\n",(i+1)*2+j); return d;
}这种算法只在符合除7余数的15个数字中进行比对，最多计算步数：15+15+3=33步，步数降低很多，但代码又变复杂了。
3、孙子算经算法
#include <stdio.h>
#include <string.h>int main()
{int r3,r5,r7,d,i; scanf("%d %d %d",&r3,&r5,&r7); i=0;d=r3*70+r5*21+r7*15;while(d>105){i++;d=d-105;} printf("所求的数为：%d\n",d); printf("计算步数为：%d\n",i+1); return d;
}这种算法代码量最少，最多计算步数：1+2=3步，也是最少。
三种算法，孰优孰劣，一目了然。尽可能用最少的开支完成更多的计算量，让计算机系统更加高效工作，这就是研究算法的目的所在吧。
文章中如有谬误之处，拜请各路大神指正。
题外话：虽然现在IT行业，无论硬件的控制器芯片，还是软件类的开发平台，还是各种协议标准，还是各类主流算法都是欧美主导，我们还处于学习和追赶阶段。但很多经典算法其实也是源于古代数学思维，而我国古代有很多出色的数学家如刘徽、赵爽、杨辉、祖冲之、贾宪、秦九韶、朱世杰、徐光启等，和许多著名数学论著，如《周髀算经》、《九章算术》、《海岛算经》、《五曹算经》、《孙子算经》、《夏侯阳算经》、《张丘建算经》、《五经算术》、《缉古算经》、《缀术》等等。而六爻八卦、天干地支、阴阳五行也都包含着十分丰富的逻辑思维，能从现代算法中看到古代逻辑思维的影子。无论世界如何变，我中华传统文化都是一座取之不尽用之不竭的宝库，而我辈也当继承发扬之。我们在科学技术上的落后，也只是从近现代开始的。所以我们不能盲目排外，但也没必要一味媚外，丧失了文化自信、科学自信和技术自信。使用外来的先进技术，目的是为我所用，促进自己技术进步，而不能因为用惯了别人的，就丧失了自我发展的动力和能力。我们的老祖宗能做到领先世界几百年上千年，我想我们也应该有这个决心和动力。
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