本文是对姜老师讲解的公式法求解行列式的详述，以及非递归的全排列算法的个人转述。

1.公式法

理解行列式公式法的，可以跳过该部分

行列式(determinant)的定义公式如下图所示，截图来源Deternimant-wiki

上图很抽象，不易理解，结合例子看，就更容易了：

这里举的是一个3*3方阵的例子：sgn([a,b,c])，表示对序列[a,b,c]的(-1)逆序次方，比如sgn([1,2,3])，[1,2,3]的逆序数为0，即−10-1^0−10，为1；∏i=1nai[1,2,3]i\prod_{i=1}^n a_i[1,2,3]_i∏i=1nai[1,2,3]i为连乘，即a11∗a22∗a33a_{11}*a_{22}*a_{33}a11∗a22∗a33，对应等式右边的第一项，后面的以此类推。

可以观察出，3阶方阵有六个项相加，即为1，2，3的全排列，也就是3的阶乘：3!=3∗2∗13!=3*2*13!=3∗2∗1。

因此n阶行列式的求解问题，转换为数字1到n的全排列问题。（代码中，由于数组从0开始，所以用 0到 n-1更合适 )

2.非递归的全排列算法

本算法只能对每个数唯一的集合求全排列

对于3阶及3阶以下的方阵，其全排列很容易列出来，而4阶甚至5阶6阶就太多了，只能通过代码列举。
下面讲详细介绍姜老师讲解的非递归全排列算法，根据其演算过程，我给他起了一个名字：“找大数算法”。
（假定对“0”“1”“2”三个数进行全排列）算法的移动规则如下：
初始顺序从小到大，方向全部向左，即：←←←\leftarrow\leftarrow\leftarrow←←←0120 1 2012最大数“2”可以按照移动方向和“1”交换位置，得到新的序列←←←\leftarrow\leftarrow\leftarrow←←←021021021继续移动，到最左侧，←←←\leftarrow\leftarrow\leftarrow←←←201201201此时，最大数“2”无法再向左移动，则寻找第二大的数“1”，判断能否按其方向移动，若能，则移动并改变最大数“2”的方向，（若不能，则判断“0”，“0”是最小数，无法移动，算法结束），此处明显能移动，得到新序列：→←←\rightarrow\leftarrow\leftarrow→←←210210210重复上面的过程，得到←→←\leftarrow\rightarrow\leftarrow←→←120120120←←→\leftarrow\leftarrow\rightarrow←←→102102102此时“2”，“1”，“0”均无法移动，算法结束。

上面的3阶方阵算法流程以表格展示如下：

步骤	结果	解释
1	012 ←←\leftarrow\leftarrow←←←\leftarrow←	初始序列，方向全部向左
2	021 ←\leftarrow←←\leftarrow←←\leftarrow←	最大数2，左移，2和1交换
3	201 ←\leftarrow←←←\leftarrow\leftarrow←←	最大数2，左移，2和0交换
4	210 →←\rightarrow\leftarrow→←←\leftarrow←	最大数2，位于最左且向左，找次最大1，向左，交换1和0，对最大数2反向
5	120 ←\leftarrow←→\rightarrow→←\leftarrow←	最大数2，右移，2和1交换
6	102 ←←\leftarrow\leftarrow←←→\rightarrow→	最大数2，右移，2和0交换
7	None	最大数2，最右且向右，次最大1，最左且向左，0最小，无法移动，结束

此时可以验证，3阶的全排列个数正好是6个。

对于4阶，可以推测其全排列个数是4!=4* 3 * 2 *1=24个，如下表所示：

步骤	结果	解释
1	0123 ←←←\leftarrow\leftarrow\leftarrow←←←←\leftarrow←	初始序列，全部向左
2	0132 ←←\leftarrow\leftarrow←←←\leftarrow←←\leftarrow←	最大数3左移
3	0312 ←\leftarrow←←\leftarrow←←←\leftarrow\leftarrow←←	最大数3左移
4	3012 ←\leftarrow←←←←\leftarrow\leftarrow\leftarrow←←←	最大数3左移
5	3021 →\rightarrow→←\leftarrow←←\leftarrow←←\leftarrow←	最大数3最左向左，次最大2左移，3反向
6	0321 ←\leftarrow←→\rightarrow→←←\leftarrow\leftarrow←←	最大数3右移
7	0231 ←←\leftarrow\leftarrow←←→\rightarrow→←\leftarrow←	最大数3右移
8	0213 ←←←\leftarrow\leftarrow\leftarrow←←←→\rightarrow→	最大数3右移
9	2013 ←\leftarrow←←←\leftarrow\leftarrow←←←\leftarrow←	最大数3最右向右，次最大2左移，3反向
10	2031 ←←\leftarrow\leftarrow←←←\leftarrow←←\leftarrow←	最大数3左移
11	2301 ←\leftarrow←←\leftarrow←←←\leftarrow\leftarrow←←	最大数3左移
12	3201 ←\leftarrow←←←←\leftarrow\leftarrow\leftarrow←←←	最大数3左移
13	3210 →→←\rightarrow\rightarrow\leftarrow→→←←\leftarrow←	最大3最左向左，次最大2向左但无法左移，次次最大1左移，3和2反向
14	2310 →\rightarrow→→\rightarrow→←←\leftarrow\leftarrow←←	最大数3右移
15	2130 →←\rightarrow\leftarrow→←→\rightarrow→←\leftarrow←	最大数3右移
16	2103 →←←\rightarrow\leftarrow\leftarrow→←←→\rightarrow→	最大数3右移
17	1203 ←\leftarrow←→\rightarrow→←\leftarrow←←\leftarrow←	最大数3最右向右，次最大2向右右移，3反向
18	1230 ←→\leftarrow\rightarrow←→←\leftarrow←←\leftarrow←	最大数3左移
19	1320 ←\leftarrow←←\leftarrow←→←\rightarrow\leftarrow→←	最大数3左移
20	3120 ←\leftarrow←←→←\leftarrow\rightarrow\leftarrow←→←	最大数3左移
21	3102 →\rightarrow→←←\leftarrow\leftarrow←←→\rightarrow→	最大数3最左向左，次最大2向右右移，3反向
22	1302 ←\leftarrow←→\rightarrow→←→\leftarrow\rightarrow←→	最大数3右移
23	1032 ←←\leftarrow\leftarrow←←→\rightarrow→→\rightarrow→	最大数3右移
24	1023 ←←→\leftarrow\leftarrow\rightarrow←←→→\rightarrow→	最大数3右移
25	None	无法移动，结束

3.结果展示

输入了一个5阶方阵，输出其行列式的值为-571.87863892

在矩阵行列式计算页面里输入上述矩阵：

计算结果如下图：

和算法得到的结果几乎一致

4.核心代码

注意：此处只粘贴了核心逻辑代码，用于辅助理解算法，不能直接复制运行

        //Index arrayprivate int[] indexArray;//Store index's direction: true is left,false is rightprivate bool[] indexArrayLeftDirection;private int biggestIndex = -1;public int BiggestIndex {get { return biggestIndex; }set{//When you set Biggest value,make a Swap!Swap(biggestIndex, value);biggestIndex = value;}}/// <summary>/// Change indexArray.///  If return false,finished!///    Else,not yet!/// </summary>private bool FindBiggest(){//Judge two situations://   1.Biggest in leftmost and direction is left//   2.Biggest in rightmost and direction is rightif ((BiggestIndex == 0 && indexArrayLeftDirection[BiggestIndex] == true) || (BiggestIndex == rank - 1 && indexArrayLeftDirection[BiggestIndex] == false)) {//Find less big index and change direction of biggestint lessNum=2;bool notFind = true;//Change DirectionindexArrayLeftDirection[BiggestIndex] = !indexArrayLeftDirection[BiggestIndex];do{//Finished!!!if (rank - lessNum == 0)return false;for (int i = 0; i < indexArray.Length; i++){//Get less big indexif(indexArray[i]==rank-lessNum){// 1.Less big index is in leftmost and direction is left// 2.Less big index is in rightmost and direction is right// 3.Less big index's direction is left but it's left is biggest,can't move!// 4.Less big index's direction is right but it's right is biggest,can't move!if ((i == 0 && indexArrayLeftDirection[i] == true) ||(i == rank - 1 && indexArrayLeftDirection[i] == false) ||(indexArrayLeftDirection[i] && indexArray[i - 1] > indexArray[i]) ||(!indexArrayLeftDirection[i] && indexArray[i + 1] > indexArray[i])){//Find less less big indexlessNum++;//Change less big index's directionindexArrayLeftDirection[i] = !indexArrayLeftDirection[i];}else{//Find and get less big indexnotFind = false;if (indexArrayLeftDirection[i])Swap(i, i - 1);elseSwap(i, i + 1);}break;}}} while (notFind);}else{if (indexArrayLeftDirection[biggestIndex] == true)BiggestIndex -= 1;elseBiggestIndex += 1;}return true;}/// <summary>/// Swap index and direction/// </summary>private void Swap(int a,int b){int tempIndex = indexArray[a];bool tempDirection = indexArrayLeftDirection[a];indexArray[a] = indexArray[b];indexArrayLeftDirection[a] = indexArrayLeftDirection[b];indexArray[b] = tempIndex;indexArrayLeftDirection[b] = tempDirection;}

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