用C语言求解N阶线性矩阵方程Axb简单解法

用C语言求解N阶线性矩阵方程Ax=b的简单解法一、描述问题：题目：求解线性方程组Ax=b，写成函数。其中，A为n×n的N阶矩阵，x为需要求解的n元未知数组成的未知矩阵，b为n个常数组成的常数矩阵。即运行程序时的具体实例为：转化为矩阵形式(为检验程序的可靠性，特意选取初对角线元素为0的矩阵方程组)即为：二、分析问题并找出解决问题的步骤：由高等代数知识可知，解高阶线性方程组有逆矩阵求解法、增广矩阵求解法等，而在计算机C语言中，有高斯列主消元法、LU分解法、雅克比迭代法等解法。为了与所学的高等代数知识相一致，选择使用“高斯简单迭代消元法”，与高等代数中的“增广矩阵求解法”相一致。以下简述高斯消元法的原理：算法基本原理：首先，为了能够求解N阶线性方程组(N由用户输入)，所以需要定义一个大于N维的数组a[dim+1][dim+1](dim为设定的最大维数，防止计算量溢出)，当用户输入的阶数N超过设定值时提示重启程序重新输入。进而，要判断方程组是否有解，无解提示重启程序重新输入，有解的话要判断是有无数不定解还是只有唯一一组解，在计算中，只有当原方程组有且只有一组解时算法才有意义，而运用高等代数的知识，只有当系数矩阵对应的行列式 |A|≠0 时，原方程组才有唯一解，所以输入系数矩阵后要计算该系数矩阵的行列式 |A|(定义了getresult(n)函数计算)，当行列式 |A|=0 时同样应提示重启程序重新输入， |A|≠0 时原方程组必然有且仅有唯一一组解。判断出方程组有且仅有唯一一组解后，开始将系数矩阵和常数矩阵(合并即为增广矩阵)进行初等行变换(以?a11?为基元开始，将第j列上j行以下的所有元素化为0)，使系数矩阵转化为上三角矩阵。这里要考虑到一种特殊情况，即交换到第j-1列后，第j行第j列元素?ajj=0?，那此时不能再以?ajj?为基元。当变换到第j列时，从j行j列的元素?ajj?以下的各元素中选取第一个不为0的元素，通过第三类初等行变换即交换两行将其交换到?ajj?的位置上，然后再进行消元过程。交换系数矩阵中的两行，相当于两个方程的位置交换了。再由高斯消元法，将第j列元素除?ajj?外第j行以下的其他元素通过第二种初等行变换化为0，这样，就能使系数矩阵通过这样的行变换化为一个上三角矩阵，即，当系数矩阵A进行初等行变换时，常数矩阵也要进行对应的初等行变换，即此时?那么有接下来，进行“反代”，由?可求出??，再往上代入??即可求出??以此类推，即可从?xn推到?xn-1?，再推到xn-2?直至?x1?。至此，未知矩阵x的所有元素就全部求出，即求出了原方程组有且仅有的唯一一组解。基本原理示意图：三、编写程序#include#include#include#define dim 10? ?? ?? ?? ?? ?? ?? ?? ?? ?? ?//定义最大的维数10，为防止计算值溢出double a[dim+1][dim+1],b[dim+1],x[dim+1];? ?//定义双精度数组double temp;double getarray(int n);? ?? ?? ?? ?? ?? ?? ?//定义输入矩阵元素的函数double showarray(int n);? ?? ?? ?? ?? ?? ???//定义输出化简系数矩阵过程的函数intn,i,j,k,p,q;double main(){? ?printf("请输入系数矩阵的阶数n(n<10):");scanf("%d",&n);? ? /*判断矩阵阶数是否超过界定值*/? ? if(n>dim)? ? {? ?? ???printf("错误：元数超过初设定的值%d，请重启程序重新输入\n",dim);? ?? ???exit(0);? ? }? ? /*输入系数矩阵和常数矩阵(即增广矩阵)的元素*/? ? getarray(n);? ??? ? /*使对角线上的主元素不为0*/? ? for(j=1;j<=n-1;j++)? ? {? ?? ???if(a[j][j]==0)? ?? ?? ?? ?for(i=j+1;i<=n;i++)? ?? ?? ?? ?{? ?? ?? ?? ?? ? if(a[i][j]!=0)? ?? ?? ?? ?? ? {? ?? ?? ?? ?? ?? ???/*交换增广矩阵的第i行与第j行的所有元素*/? ?? ?? ?? ?? ?? ???for(k=1;k<=n;k++)? ?? ?? ?? ?? ?? ???{? ?? ?? ?? ?? ?? ?? ?? ?a[i][k]+=a[j][k];? ?? ?? ?? ?? ?? ?? ?? ?a[j][k]=a[i][k]-a[j][k]