用层次分析法建模解决交通问题论文

摘要

本文用层次分析法建立层次结构模型对改善城市中心交通环境问题的三个方案进行决策，通过该模型进行计算及结果的分析，可知最佳的决策方案为：A1 ：在商场附近修建一座环形天桥。
本文的层次结构模型中，目标层为：改善城市中心交通环境的决策；准则层为：1通车能力，2基建费用，3方便群众，4市容美观；
措施层为：1在商场附近修建一座环形天桥，2在商场附近修建地下人行通道，3搬迁商场。
运用数学软件matlab先对对各个层次的判断矩阵进行层次单排序及一致性检验，再对措施层进行总排序及其一致性检验。措施层的随机一致性比率为0.077345<0.1，层次总排序结果具有满意的一致性，
各个措施的总排序权值依次分别为0.431195，0.355587，0.213218，措施1的权值最高，故选者措施1最佳。
关键字：层次分析法，层次结构模型，matlab，层次排序，一致性检验

问题重述

某城市中心有一家商场，由于道路狭窄，经常造成交通堵塞，当地政府决定解决这个问题，经有关专家会商研究，制定出 3 个可行方案：
A1 ：在商场附近修建一座环形天桥；
A2 ：在商场附近修建地下人行通道；
A3 ：搬迁商场。
根据当地实际情况，专家组拟定了 4 个评议准则：
U1 通车能力，
U2 基建费用，
U3 方便群众，
U4 市容美观。专家组经过决策比较，得到了
U1 ，U2 ，U3 ，U4这四个方面的两两比较矩阵
【1 2 3 7；
1/2 1 2 4；
1/3 1/2 1 2；
1/7 1/7 1/2 1】
同时，对于方案A1, A 2,A3 专家组也分别就u1、 u2、 u3、 u4 四个准则进行了比较，得到了以下 4 个两两比较矩阵：
B1= (1 2 3；
1/2 1 2；
1/3 1/2 1) ;
B2= (1 1 3；
1 1 3；
1/3 1/3 1)；

B3=(1 1/3 1；
3 1 1/3 ；
1 3 1) ；
B4=(1 1/4 1；
4 1 2；
3 1/2 1)；
问题：试建立层次结构模型，对上述矩阵进行一致性检验，并通过已有的比较矩阵，对 3个可行方案进行评估，从而为当地政府提出改善城市中心交通环境的决策建议。

问题分析

由于题目中明确要求要建立层次结构模型，故可运用层次分析法来建立该模型。该层次结构模型中把改善城市中心交通环境的决策作为目标层，四个准则作为准则层，三个方案作为措施层。然后根据每个层次的判断矩阵，求出同一个层次中相应的元素对于上一层次中某个因素相对重要性的排序权值，即层次单排序，然后再进行该层次的一致性检验。最后应该对措施层求总排序及对其进行总排序一致性检验。

模型假设

（1）假设影响目标层：解决市中心交通拥堵问题只与层次模型中的准则层与措施层有关，与其他因素无关。
（2）假设评价准则能够很好地反映市中心的实际情况。
（3）假设上面的三个方案都能解决该问题

模型的建立与求解

通过层次分析法，建立层次分析模型如下：
目标层解决交通堵塞问题P

   U1          U2   U3         U4

准通基方市
则车建便容
层能费群美
力用众观

         A1         A2           A3

方环地搬
案形下迁
层天人商
桥行厂
通道
求解的步骤：求判断矩阵的最大特征值及对应的特征向量，然后进行单层次一致性检验，总层次一致性检验。计算均用matlab来实现，下面只列结果，具体的计算均由代码实现，具体的代码在结果后面。
判断矩阵A:P-U
P U1 U2 U3 U4 特征向量w
U1 1 2 3 7 0.5008
U2 1/2 1 2 4 0.2780
U3 1/3 1/2 1 2 0.1494
U4 1/7 1/4 1/2 1 0.0717
最大特征值为4.007782
一致性指标CI=0.002594
一致性比率为CR=0.002882
判断矩阵B1:U1-A
U1 A1 A2 A3 特征向量w
A1 1 2 3 0.5396
A2 1/2 1 2 0.2970
A3 1/3 1/2 1 0.1634
最大特征值为3.009203
一致性指标CI= 0.004601
一致性比率为CR= 0.007933

判断矩阵B2:U2-A
U2 A1 A2 A3 特征向量w
A1 1 1 3 0.4286
A2 1 1 3 0.4286
A3 1/3 1/3 1 0.1429
最大特征值为3.000000
一致性指标CI= -0.000000
一致性比率为CR= -0.000000
判断矩阵B3:U3-A
U3 A1 A2 A3 特征向量w
A1 1 1/3 1 0.2211
A2 3 1 1/3 0.3189
A3 1 3 1 0.4600
最大特征值为3.560834
一致性指标CI= 0.280417
一致性比率为CR=0.483477
判断矩阵B4:U4-A
U4 A1 A2 A3 特征向量w
A1 1 1/4 1/3 0.1220
A2 4 1 2 0.5584
A3 3 1/2 1 0.3196
最大特征值为3.018295
一致性指标CI= 0.009147
一致性比率为CR=0.015771
措施层中各方案对目标层的层次总排序：
层次U
层次A U1 U2 U3 U4 层次A
0.5008 0.2780 0.1494 0.0717
A1 0.5396 0.4286 0.2211 0.1220 0.431195
A2 0.2970 0.4286 0.3189 0.5584 0.355587
A3 0.1634 0.1429 0.4600 0.3196 0.213218
总排序一致性指标CI=0.5800
总排序一致性比率为CR= 0.077345
从结果可知：各种措施的优先级排序为A1>A2>A3
所以选择方案A1为最佳的决策。
Matlab中的计算代码如下：

function [MaxA,darth]=Maxchara(A)
%用于计算矩阵的最大特征值及特征向量[X,Y]=eig(A);
[Max,index]=max(max(Y));
MaxA=Max;
thA=X(:,index);
darth=(1/sum(thA))*thA;end
A=[1 2 3 7;1/2 1 2 4;1/3 1/2 1 2;1/7 1/4 1/2 1];
B1=[1 2 3;1/2 1 2;1/3 1/2 1];
B2=[1 1 3;1 1 3;1/3 1/3 1];
B3=[1 1/3 1;3 1 1/3;1 3 1];
B4=[1 1/4 1/3;4 1 2;3 1/2 1];
RI3=0.58;
RI4=0.90;
disp('Matriax A');
[MaxA,darthA]=Maxchara(A);
fprintf('矩阵A的最大特征值为 %d\n',MaxA);
disp('矩阵A的最大特征向量为：');
disp(darthA);
CIb1=(MaxA-4)/(4-1);
fprintf('矩阵A的一致性指标为 %f\n',CIb1);
CRa=CIb1/RI4;
fprintf('矩阵A的随机一致性比率为 %f\n',CRa);
%Matrix B1
disp('Matriax B1');
[MaxB1,darthB1]=Maxchara(B1);
fprintf(' 矩阵B1的最大特征值为 %d\n',MaxB1);
disp('矩阵B1的最大特征向量为：');
disp(darthB1);
CIb1=(MaxB1-3)/(3-1);
fprintf('矩阵B1的一致性指标为  %f\n',CIb1);
CRb1=CIb1/RI3;
fprintf('矩阵B1的随机一致性比率为  %f\n',CRb1);%Matrix B2
disp('Matriax B2');
[MaxB2,darthB2]=Maxchara(B2);
fprintf('矩阵B2的最大特征值为 %d\n',MaxB2);
disp('矩阵B2的最大特征向量为：');
disp(darthB2);
CIb2=(MaxB2-3)/(3-1);
fprintf('矩阵B2的一致性指标为 %f\n',CIb2);
CRb2=CIb2/RI3;
fprintf('矩阵B2的随机一致性比率为 %f\n',CRb2);%Matrix B3
disp('Matriax B3 ');
[MaxB3,darthB3]=Maxchara(B3);
fprintf(' 矩阵B3的最大特征值为 %d\n',MaxB3);
disp('矩阵B3的最大特征向量为：');
disp(darthB3);
CIb3=(MaxB3-3)/(3-1);
fprintf('矩阵B3的一致性指标为 %f\n',CIb3);
CRb3=CIb3/RI3;
fprintf('矩阵B3的随机一致性比率为 %f\n',CRb3);%Matrix B4
disp('Matriax B4');
[MaxB4,darthB4]=Maxchara(B4);
fprintf('矩阵B4的最大特征值为 %d\n',MaxB4);
disp('矩阵B4的最大特征向量为：');
disp(darthB4);
CIb4=(MaxB4-3)/(3-1);
fprintf('矩阵B4的一致性指标为 %f\n',CIb4);
CRb4=CIb4/RI3;
fprintf('矩阵B4的随机一致性比率为  %f\n',CRb4);
temp=zeros(1,3);
for i=1:3
temp(i)=darthA(1)*darthB1(i)+ darthA(2)*darthB2(i)+ darthA(3)*darthB3(i)+ darthA(4)*darthB4(i);
fprintf('措施A%d的总层次排序为%f\n',i,temp(i));
end
CIZ=darthA(1)*CIb1+darthA(2)*CIb2+darthA(3)*CIb3+darthA(4)*CIb4;
RIZ=darthA(1)*RI3+darthA(2)*RI3+darthA(3)*RI3+darthA(4)*RI3;
CRZ=CIZ/RIZ;
fprintf('措施层的总排序的随机一致性比率 %f\n',CRZ);

运行结果如下
Matriax A
矩阵A的最大特征值为4.007782e+00
矩阵A的最大特征值对应的特征向量为：
0.5008
0.2780
0.1494
0.0717

矩阵A的一致性指标CIa为0.002594
矩阵A的随机一致性比率CRa为0.002882
Matriax B1
矩阵B1的最大特征值为3.009203e+00
矩阵B1的最大特征值对应的特征向量为：
0.5396
0.2970
0.1634

矩阵B1的一致性指标CIb1为0.004601
矩阵B1的随机一致性比率CRb1为0.007933
Matriax B2
矩阵B2的最大特征值为3.000000e+00
矩阵B2的最大特征值对应的特征向量为：
0.4286
0.4286
0.1429

矩阵B2的一致性指标CIb2为-0.000000
矩阵B2的随机一致性比率CRb2为-0.000000
Matriax B3
矩阵B3的最大特征值为3.560834e+00
矩阵B3的最大特征值对应的特征向量为：
0.2211
0.3189
0.4600

矩阵B3的一致性指标CIa为0.280417
矩阵B3的随机一致性比率CRb3为0.483477
Matriax B4
矩阵B4的最大特征值为3.018295e+00
矩阵B4的最大特征值对应的特征向量为：
0.1220
0.5584
0.3196

矩阵B4的一致性指标CIb4为0.009147
矩阵B4的随机一致性比率CRb4为0.015771
措施A1.000000的总排序权值为0.431195
措施A2.000000的总排序权值为0.355587
措施A3.000000的总排序权值为0.213218
措施层总排序随机一致性比率为0.077345

模型的缺点与改进方向

该模型的的判断矩阵B3不具有满意的一致性，应该重新确定措施层中的各个措施对准则U3:方便群众的影响之比，使B3判断矩阵具有满意的一致性。