03笔记 离散数学——一阶逻辑——基于离散数学(第3版)_章炯民,陶增乐
谓词和谓词公式
概念
个体词 命题中独立存在的个体，相当于主语、宾语
谓词 用于刻画个体的性质或它们之间的关系 相当于谓语
个体常量 特定个体的个体此，一般abc表示
个体变量 抽象或泛指个体，一般xyz表示
个体域 个体变量所有可能取到的值的集合
全总个体域 所有个体组成
n元谓词 谓词P设计n个个体，记P(x1……xn)
0元谓词 命题可以认为是0元谓词
谓词公式
项递归
1）个体此（常量、变量）是项
2）f是n元函数符号 ，t1……tn是项，则f（t1……tn）
3）所有项都是通过有限次的（1)(2)之后得到的符号串
谓词公式
1）P是n元谓词符号，t1……tn是项，P（t1……tn）是谓词公式
2）若A和B是谓词公式则
(¬A)(A∧B)(A∨B)(A→B)(A↔B)(\lnot A) \quad(A\land B)\quad (A\lor B)\quad(A\rightarrow B) \quad(A\leftrightarrow B)(¬A)(A∧B)(A∨B)(A→B)(A↔B)
都是谓词公式
3）若A是谓词公式，x是个体变量，则
∀xA∃xA\forall xA\quad\exist xA∀xA∃xA也是谓词公式
指导变量：x
辖域：A
辖域中x称为约束变量
A中的非约束变量称为自由变量
解释
1）非空个体域D
2）为公式中每个自由变量和常量符号分别指定一个D的特定元素
3）指定该公式中n元函数符号为D^n到D的函数
4）指定公式中n元谓词符号为D^n到{0，1}的函数
有效公式 谓词公式A在所有解释下真值为真
矛盾公式 谓词公式A在所有解释下真值为假
可满足公式 A至少存在一种让他成真的解释
代换实例：
A是含命题变量p1……pn的命题公式，其中n为正整数，A1……An是n个谓词公式，用Ai替换掉A中pi,得到的谓词公式称为A的代换实例
谓词公式的等值演算和前束范式
A(x,y)表示任意含自由变量x,y的谓词公式，A(x)和B(x)表示任意含自由变量x的谓词公式，B表示任意不含自由变量x的谓词公式。下面谓词公式恒等式成立
1）量词否定
¬∀A(x)⇔∃x¬A(x)¬∃A(x)⇔∀x¬A(x)\lnot \forall A(x) \Leftrightarrow \exist x\lnot A(x)\quad\lnot \exist A(x) \Leftrightarrow \forall x\lnot A(x)¬∀A(x)⇔∃x¬A(x)¬∃A(x)⇔∀x¬A(x)
2）量词交换
∀x∀yA(x,y)⇔∀y∀xA(x,y)∃x∃yA(x,y)⇔∃y∃xA(x,y)\forall x\forall y A(x,y) \Leftrightarrow \forall y\forall x A(x,y)\quad\exist x\exist y A(x,y) \Leftrightarrow \exist y\exist x A(x,y)∀x∀yA(x,y)⇔∀y∀xA(x,y)∃x∃yA(x,y)⇔∃y∃xA(x,y)
3）量词消去
∃xB⇔B∀xB⇔B\exist x B\Leftrightarrow B \quad \forall x B\Leftrightarrow B∃xB⇔B∀xB⇔B
4）换名
∀x(A(x)∧B(x))⇔∀xA(x)∧∀xB(x)∃x(A(x)∨B(x))⇔∃xA(x)∨∃xB(x)\forall x (A(x)\land B(x))\Leftrightarrow\forall xA(x)\land\forall xB(x) \\ \exist x (A(x)\lor B(x))\Leftrightarrow\exist xA(x)\lor\exist xB(x)∀x(A(x)∧B(x))⇔∀xA(x)∧∀xB(x)∃x(A(x)∨B(x))⇔∃xA(x)∨∃xB(x)
5）量词分配
∀x(A(x)∧B(x))⇔∀xA(x)∧∀xB(x)∃x(A(x)∨B(x))⇔∃xA(x)∨∃xB(x)\forall x(A(x)\land B(x))\Leftrightarrow\forall xA(x)\land\forall xB(x) \\ \exist x(A(x)\lor B(x))\Leftrightarrow\exist xA(x)\lor\exist xB(x)∀x(A(x)∧B(x))⇔∀xA(x)∧∀xB(x)∃x(A(x)∨B(x))⇔∃xA(x)∨∃xB(x)
6）量词辖域收缩与扩张
∀(A(x)∨B)⇔∀xA(x)∨B,∃(A(x)∧B)⇔∃xA(x)∧B∀(A(x)∧B)⇔∀xA(x)∧B,∃(A(x)∨B)⇔∃xA(x)∨B\forall (A(x)\lor B)\Leftrightarrow \forall xA(x)\lor B,\quad\exist (A(x)\land B)\Leftrightarrow \exist xA(x)\land B \\ \forall (A(x)\land B)\Leftrightarrow \forall xA(x)\land B,\quad\exist (A(x)\lor B)\Leftrightarrow \exist xA(x)\lor B ∀(A(x)∨B)⇔∀xA(x)∨B,∃(A(x)∧B)⇔∃xA(x)∧B∀(A(x)∧B)⇔∀xA(x)∧B,∃(A(x)∨B)⇔∃xA(x)∨B
前束范式
谓词公式A有形式□x1,□x2……□xnB,其中□是量词存在或任意，x1……xn是个体变量，B是不含量词的谓词公式，说明A是前束范式。
□x1……□xn是前缀，B是主式
一阶逻辑的推理理论
全称量词消去规则 US
对于任意个体常量e，∀xA(x)推出A（e）\forall xA(x)推出A（e）∀xA(x)推出A（e）
对于任意个体变量y，在A中x不在任何任意y 存在y的辖域内自由出现，则∀xA(x)推出A（y）\forall xA(x)推出A（y）∀xA(x)推出A（y）
全称量词引入规则 UG
A不含额外的个体常量，前提中没有任何自由的个体变量x
A（x）推出 ∀xA(x)\forall xA(x)∀xA(x)
存在量词消去规则 ES
存在xA(x)推出A（e)，e是在形式证明中没有出现过的新的额外的个体常量
存在量词引入规则 EG
对于任意个体变量e，若在A中，e不在任何存在x 任何x的辖域内出现
则 A(e)推出 存在xA(x)
对任意个体变量y，若在A中，y不在任何x和存在x的辖域内自由出现，则A（y）推出存在xA（x)
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