1 欧拉图

概念

包含G所有边的简单通路称为G的欧拉通路，包含图G的所有边的简单回路称为G的欧拉回路。具有欧拉回路且不含孤立点的图叫欧拉图

性质

无向：
连通无向图是欧拉图当且仅当每个顶点的度均为偶数

推论：连通无向图中两个不同顶点间有欧拉通路当且仅当它们的度为奇数，且其他顶点的度均为偶数

有向：
弱连通的有向图是欧拉图当且仅当每个顶点的入度和出度相等

2 哈密顿图

定义

包含图G的所有顶点的基本通路称为G的哈密顿通路。包含G的所有顶点的基本回路称为G的哈密顿回路，具有哈密顿回路的图为哈密顿图

性质

无向：
(哈密顿图的必要条件）
若连通无向图G=(V,E)G = (V,E)G=(V,E)是哈密顿图，对V的任意非空子集S，有ω(G−S)≤∣S∣\omega(G-S)\le |S|ω(G−S)≤∣S∣

（哈密顿图的充分条件）
n大于3，n阶无向简单图G的没对不相邻的顶点的度之和都不小于n，则G是哈密顿图

格雷码
长度为n的二进制串拍成序列，让所有相邻的串恰好相差一位，最后一个串和第一个串恰好差一位
利用超立方体图QnQ_nQn来建立哈密顿回路可获得格雷码

竞赛图
底图为完全图的有向图

3 平面图

概念

①
G在平面上的画法，边仅仅相交于表示顶点的点，则G是平面图，否则称G是非平面图。平面图的边仅相交于顶点的几何图形表示称为他的平面表示，简称平图

②
平面图G的一个平图中，G的边把平面分成若干个区域，若一个区域内部没有G的边，则称该区域为平面图G的一个面，包围一个面的各个最短回路称为该面的边界，免得编辑的长度称为面的次数，面R的次数记为deg( R ),面积有限的面为有限面，反之为无限面
【需要注意的是，如果一个边只接触到一个面（比如一个边两边都是同一个无限面），计算长度的时候要计算两次】

③
设平面图G=(V,E)G = (V,E)G=(V,E)有r个面R1...RrR_1...R_rR1...Rr，m条边e1...eme_1...e_me1...em,如下构造的图G∗=(V∗,E∗)G^*=(V^*,E^*)G∗=(V∗,E∗)为G的对偶图

(1)
G中每个面取一个点作为G∗G^*G∗的顶点，设G∗G^*G∗在面RiR_iRi中的顶点是vi∗v_i^*vi∗,则V∗V^*V∗={v1∗,...,vr∗v_1^*,...,v_r^*v1∗,...,vr∗}
(2)
对于G中任意一条边eke_kek,若eke_kek属于两个不同的面Ri,RjR_i,R_jRi,Rj(i!=j)的边界，则G∗G^*G∗的边ek∗=e_k^*=ek∗={vi∗,vj∗v_i^*,v_j^*vi∗,vj∗};
若i==j，则构造G∗G^*G∗的环ek∗=e_k^*=ek∗={vi∗,vi∗v_i^*,v_i^*vi∗,vi∗};于是E∗E^*E∗= {e1∗,...,em∗e_1^*,...,e_m^*e1∗,...,em∗}

性质

定理1：
平面图各个面次数之和等于边数量的两倍
∑deg(R)=∑v∗∈V∗d(v∗)=2∣E∣\sum deg(R)=\sum_{v^*\in V^*}d(v^*) = 2|E|∑deg(R)=∑v∗∈V∗d(v∗)=2∣E∣

定理2：
连通平面图有n个顶点，m条边，r个面，则n-m+r=2
推论
平面图面次数不小于k，有m≤kk−2(n−2)m\le \frac{k}{k-2}(n-2)m≤k−2k(n−2)
可利用该性质证明K3,,3,K5K_{3,,3},K_5K3,,3,K5不是平面图

定义：
设G是无向图，若在G的边上插入一些度为2的顶点，将边分为几条直的边，所得到的图和G同胚；若在G中删掉一些边，将每对与被删之边关联的顶点合并为一个顶点，得到的图是G的收缩

定理（库拉托夫斯基）
1）无向图是平面图当且仅当其不存在与K3,3K_{3,3}K3,3 K5K_5K5同胚的子图
1）无向图是平面图当且仅当其不存在可收缩到K3,3K_{3,3}K3,3 K5K_5K5同胚的子图

4 无向树

概念

①连通且没有长度大于0的基本回路的无向图称为无向树，建成树，度为的顶点为叶子or叶结点，度数打羽1的顶点称为分支顶点或分支节点
只有一个顶点的树称为平凡树 顶点个数不小于2的树称为**非平凡树

②没有长度大于0的基本回路的无向图称为无向森林

性质

1）G是树
2）G没有长度大于0的基本回路且|E|=|V|-1
3) G是连通图且|E|=|V|-1
4) G中没有长度大于0的基本回路且G中任意两个不相邻的顶点之间加边后，有且仅有一条不同的大于0的基本回路
5）G是连通图，G删去任意一条边后，不再是连通图
6）G是简单图，G中任意一对不同顶点之间有且仅有一条不同的基本通路

定义
若G的某个生成子图G是树,T是G的生成树
定理
无向图有生成树当且仅当其为连通图

5 有向树

定义
底图为无向树的有向图为有向树

定义
若T有且仅有一个顶点入度为0，其他顶点入度为1，T为根树

入度为0：根节点
出度为0：叶节点
出度大于0：分支结点、内节点
根到某一顶点通路的长度为顶点的层数
顶点最大层次为高度

定理
根到其他顶点的通路存在且唯一

定义
再根树中规定了兄弟之间的某种排列次序，称树为有序树

定义
一棵树中规定兄弟之间某种次序排列，称根树为有序树

定义
根数中所有的出度不大于m，至少有一个点出度为m，称这个数为m叉树，根树中所有顶点的出度均为0或m，称这个树为完全m叉树

定理
二叉树T中有u个叶子，v个长度为2的顶点
则u=v+1

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3 平面图

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4 无向树

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