题目

一个排列，可以交换任意两个一次，或交换相邻两个无限次。
求排序的最少交换次数。
n≤3e5n\leq 3e5n≤3e5

思考历程

显然可以先交换，再求冒泡排序。
先求出逆序对个数，然后问题转化为：找到一对(i,j)(i,j)(i,j)满足∑i<x<j[ai>ax>aj]\sum_{i<x<j}[a_i>a_x>a_j]∑i<x<j[ai>ax>aj]最大
于是我就非常天真地想到了树套树，并尝试着想去实现一下。
但没多久……
这又区间加区间乘的，树套树怎么合并信息啊！
所以树套树并不是只要是二维就可以干啊
无奈之下写了O(n2lg⁡n)O(n^2\lg n)O(n2lgn)
加了若干优化和剪枝，于是n≤6000n\leq 6000n≤6000稳过，n≤60000n \leq 60000n≤60000能过随机数据。

正解

比赛时半天都没有想到决策单调性，我在干什么……

显然，如果存在ai>aja_i>a_jai>aj且i<ji<ji<j，则iii不可能作为右端点。
同理，如果存在ai>aja_i>a_jai>aj且i<ji<ji<j，则jjj不可能作为左端点。
接下来可以发现，合法的左端点为前缀最大值，合法的右端点为后缀最小值。

对于一个点xxx，考虑它会对哪些区间造成贡献。
可以二分出它能贡献到的左端点、右端点的范围，对它们的贡献相当于在某个矩形上区间加。
离线之后扫描线，就可以求出最大的贡献。

时间复杂度O(nlg⁡n)O(n \lg n)O(nlgn)

代码

实现的时候不需要对合法的左端点、右端点离散化，因为它们的大小关系不变，矩形交的部分也是不变的。

using namespace std;
#include <cstdio>
#include <cstring>
#include <algorithm>
#define N 300010
#define ll long long
int n,a[N];
int pre[N],np,suc[N],ns;
struct Oper{int x,l,r,c;
} o[N*2];
int m;
bool cmpo(Oper a,Oper b){return a.x<b.x;}
int t[N*4],tag[N*4];
void change(int k,int l,int r,int st,int en,int c){if (st<=l && r<=en){tag[k]+=c;t[k]+=c;return;}int mid=l+r>>1;if (st<=mid)change(k<<1,l,mid,st,en,c);if (mid<en)change(k<<1|1,mid+1,r,st,en,c);t[k]=max(t[k<<1],t[k<<1|1])+tag[k];
}
int s[N];
void add(int x){for (;x<=n;x+=x&-x)s[x]++;
}
int query(int x){int r=0;for (;x;x-=x&-x)r+=s[x];return r;
}
int main(){//  freopen("in.txt","r",stdin);freopen("sword.in","r",stdin);freopen("sword.out","w",stdout);scanf("%d",&n);for (int i=1;i<=n;++i)scanf("%d",&a[i]);for (int i=1,lst=0;i<=n;++i)if (a[i]>lst)pre[++np]=i,lst=a[i];for (int i=n,lst=n+1;i>=1;--i)if (a[i]<lst)suc[++ns]=i,lst=a[i];reverse(suc+1,suc+ns+1);for (int i=1;i<=n;++i){int L=-1,R=-1,l,r;l=1,r=np;while (l<=r){int mid=l+r>>1;if (a[pre[mid]]>a[i])L=pre[mid],r=mid-1;elsel=mid+1;}if (L==-1 || L>i-1)continue;l=1,r=ns;while (l<=r){int mid=l+r>>1;if (a[suc[mid]]<a[i])R=suc[mid],l=mid+1;elser=mid-1;}if (R==-1 || i+1>R)continue;//[L,i-1]*[i+1,R]
//      printf("%d [%d,%d]*[%d,%d]\n",i,L,i-1,i+1,R);o[++m]={L,i+1,R+1,1};o[++m]={i,i+1,R+1,-1};}sort(o+1,o+m+1,cmpo);int ans=0;for (int i=1,j=1;i<=n;++i){for (;j<=m && o[j].x<=i;++j)change(1,1,n,o[j].l,o[j].r,o[j].c);ans=max(ans,t[1]);}ans=ans*2+1;ll sum=0;for (int i=n;i>=1;--i){sum+=query(a[i]);add(a[i]);}printf("%lld\n",min(sum,sum-ans+1));return 0;
}

总结

不要总是一上来就直接想数据结构……
应该要去想想性质，比如单调性什么的……

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