【扫描线】六道剑「一念无量劫」

题目

Description
妖梦在练习剑术
有 n 个木桩排成一排，从左到右高度分别为 h 1 ,h 2 ,h 3 ,…,h n ，这些高度两两不同
妖梦每次可以选择两个相邻的木桩交换，这样的交换可以进行任意多次
妖梦也可以使用符卡：选择两个木桩交换，但最多只能使用一次。
妖梦想要知道将木桩排成从左到右递增的顺序，她最少需要进行多少次交换。

Input
从 sword.in 中读入数据
第一行一个正整数 n
第二行 n 个正整数 h 1 ,h 2 ,…,h n

Output
输出到文件 sword.out 中
一行一个整数，表示最少的交换次数

Sample Input
5
3 5 4 1 2

Sample Output
5

Data Constraint

Hint
(3,5,4,1,2)
交换 1,2 (3,5,4,2,1)
交换 3,4 (3,5,2,4,1)
交换 3,5 (5,3,2,4,1)
交换 2,3 (5,2,3,4,1)
交换 1,5 (1,2,3,4,5)
可以证明这是次数最少的方法

思路

容易发现最优解满足 h[i] 是前缀最大值且 h[j] 为后缀最小值
不妨反过来考虑每个 x 对哪些 (i,j) 有贡献
令 l 为最小的满足 h[l]>h[x] 且 h[l] 为前缀最大值的 l,h[r] 为最大
的满足 h[r]<h[x] 且 h[r] 为后缀最小值的 r
那么 x 的贡献就是 i ∈ [l, x − 1], j ∈ [x + 1,r] 这样一个矩形
问题变为矩形加全局最大值，离线扫描线维护即可
复杂度 O(n log n)

代码

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
#define int long long
#define N 300005
int L,R,n,yjy,g,ta,tb,cnt,a[N],A[N],B[N],s[N],t[N];
void add(int x,int p) {for(; x <= n; x += x & -x) s[x] += p;
}
int que(int x) {int g = 0;for(; x; x -= x & -x) g += s[x];return g;
}
int F(int x,int y) {while(R < y) add(a[++R],1);while(R > y) add(a[R--],-1);while(L < x) add(a[L++],-1);while(L > x) add(a[--L],1);return que(a[x]) + que(a[x] - 1) - que(a[y]) - que(a[y] - 1) - 2;
}
void work(int l,int r,int ql,int qr) {if (l > r || ql > qr)return;int mid = l + r >> 1,p = 0,g = -1e18,t;for(int i = ql; i <= qr; i++)if (A[i] != B[mid])if (g < (t = F(A[i],B[mid])))g = t,p = i;yjy = max(yjy,g);work(l,mid - 1,ql,p);work(mid + 1,r,p,qr);
}
signed main() {freopen("sword.in","r",stdin); freopen("sword.out","w",stdout);scanf("%lld",&n);bool bz=1;for(int i = 1; i <= n; i++){scanf("%lld",&a[i]),t[i] = a[i];if(a[i]<a[i-1]) bz=0;}if(bz){printf("0"); return 0;}sort(t + 1,t + 1 + n);cnt = unique(t + 1,t + 1 + n) - t - 1;for(int i = 1; i <= n; i++) a[i] = lower_bound(t + 1,t + 1 + cnt,a[i]) - t;for(int i = 1; i <= n; i++) g += i - 1 - que(a[i]),add(a[i],1);if (!g) {puts(cnt == n ? "1" : "0");return 0;}for(int i = 1; i <= n; i++)if (!ta || a[i] > a[A[ta]])A[++ta] = i;for(int i = n; i >= 1; i--)if (!tb || a[i] < a[B[tb]])B[++tb] = i;reverse(B + 1,B + tb + 1);L = 1,R = 0;yjy = -1e18;memset(s,0,sizeof(s));work(1,tb,1,ta);printf("%lld\n",g - yjy);
}

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