题目

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思路

看到异或，想到线性基。再仔细观察一下，好像每个元素出现的次数都是一样的耶！

我们有两种证明方法。其一是，考虑某个异或和出现次数超过一的原因：⨁cyca=0\bigoplus_{cyc}a=0⨁cyca=0 ，所以一个已经存在的方案与之异或即可得到新方案。显然这一条对于所有数字的凑出都适用。

其二更严谨。线性基中曾经用到过这个重要结论：{a,b,…}\{a,b,\dots\}{a,b,…} 与 {a,a⊕b,…}\{a,a\oplus b,\dots\}{a,a⊕b,…} 的所有子集的异或和相同。既然如此，把集合中的每个元素都变化成线性基中的元素，并记录其个数。即：知晓集合变成了 {n1×x1,n2×x2,…}\{n_1\times x_1,n_2\times x_2,\dots\}{n1×x1,n2×x2,…} 。其中 a×ba\times ba×b 表示 aaa 个 bbb 元素。

此时凑出一个数的方案有多少个呢？如果我们需要一个 x1x_1x1 ，那么我们需要在 n1n_1n1 中选出奇数个数字，否则是偶数个。这个数量显然是 2n1−12^{n_1-1}2n1−1 ，二者都是。然后凑出一个数的最终个数为 ∏i2ni−1=2n−cnt\prod_{i}2^{n_i-1}=2^{n-cnt}∏i2ni−1=2n−cnt ，因为 ∑ini=n\sum_{i}n_i=n∑ini=n 。cntcntcnt 表示线性基中的元素个数。

现在，我们的目标是，求出 [0,q)[0,q)[0,q) 中有多少个不同的异或和。这是很简单的，因为小于 qqq 的数字一定存在一个二进制位，满足这一位以前相同、这一位较小。这就是线性基可以处理的了。假设这一位是 iii ，在 qqq 的第 iii 位为 111 的情况下，线性基中有 rrr 个元素可以操控比 iii 更低的位，那么方案数就是 2r2^r2r ，线性基中的元素随便选呗。

代码

#include <cstdio>
#include <iostream>
#include <vector>
using namespace std;
typedef long long int_;
inline int_ readint(){int_ x; scanf("%lld",&x); return x;
}const int zxy = 10086;int_ d[100]; int cnt;
void insert(int_ x){for(int i=63; i>=0&&x; --i){if((x>>i&1) == 0) continue;if(d[i] != 0) x ^= d[i];else {d[i] = x, ++ cnt; break;}}
}int main(){int n = readint();for(int i=1; i<=n; ++i)insert(readint());int ans = 0, k = readint();for(int i=0,t=1; i<64; ++i){if(d[i] == 0) continue;if(k>>i&1) ans = (t+ans)%zxy;t = (t<<1)%zxy; // pow}for(int i=1; i<=n-cnt; ++i)ans = (ans<<1)%zxy;printf("%d\n",(ans+1)%zxy);return 0;
}

后记

重要的事情说一百遍。请将模数取名为 zxyzxyzxy ！——《爆零是zxyzxyzxy的谎言》

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