P1600 天天爱跑步

题面
小c同学认为跑步非常有趣,于是决定制作一款叫做《天天爱跑步》的游戏。《天天爱跑步》是一个养成类游戏,需要玩家每天按时上线,完成打卡任务。
这个游戏的地图可以看作一一棵包含 n个结点和 n-1条边的树, 每条边连接两个结点,且任意两个结点存在一条路径互相可达。树上结点编号为从1到n的连续正整数。
现在有m个玩家,第ii个玩家的起点为 S_i ,终点为 T_i。
每天打卡任务开始时,所有玩家在第00秒同时从自己的起点出发, 以每秒跑一条边的速度, 不间断地沿着最短路径向着自己的终点跑去, 跑到终点后该玩家就算完成了打卡任务。 (由于地图是一棵树, 所以每个人的路径是唯一的)
小c想知道游戏的活跃度, 所以在每个结点上都放置了一个观察员。在结点jj的观察员会选择在第W_j秒观察玩家, 一个玩家能被这个观察员观察到当且仅当该玩家在第W_j秒也理到达了结点 j。小C想知道每个观察员会观察到多少人?
注意: 我们认为一个玩家到达自己的终点后该玩家就会结束游戏, 他不能等待一段时间后再被观察员观察到。即对于把结点jj作为终点的玩家: 若他在第W_j 秒前到达终点,则在结点jj的观察员不能观察到该玩家;若他正好在第W_j 秒到达终点,则在结点j的观察员可以观察到这个玩家。

输入
第一行有两个整数n和m 。其中n代表树的结点数量, 同时也是观察员的数量, m代表玩家的数量。
接下来 n- 1行每行两个整数u和 v,表示结点u到结点v有一条边。
接下来一行 n个整数,其中第jj个整数为W_j , 表示结点jj出现观察员的时间。
接下来 m行,每行两个整数S_i,和T_i,表示一个玩家的起点和终点。
对于所有的数据,保证1≤Si,Ti≤n,0≤Wj≤n1≤Si,Ti≤n,0≤Wj≤n1\leq S_i,T_i\leq n, 0\leq W_j\leq n1≤S i ,T i ≤n,0≤W j ≤n1≤Si,Ti≤n,0≤Wj≤n1≤Si,Ti≤n,0≤Wj≤n

输出
输出1行 n个整数,第j个整数表示结点j的观察员可以观察到多少人。

样例输入
6 3
2 3
1 2
1 4
4 5
4 6
0 2 5 1 2 3
1 5
1 3
2 6

样例输出
2 0 0 1 1 1

SOL
对于每一对点<s，t><s，t><s，t>,考虑lca(s,t)lca(s,t)lca(s,t)对答案的影响
有两种情况:观察员在 s→lca(s,t)s → lca(s, t)s→lca(s,t) 的路径上和 lca(s,t)→tlca(s, t) → tlca(s,t)→t 的路径上。

1.考虑起点为 s，观察员为 v，且 s 在 v 的子树内，被 v 观察到,
即满足 dep[s]−dep[v]=W[v]dep[s]-dep[v] = W[v]dep[s]−dep[v]=W[v]，
移项可得 dep[s]=dep[v]+W[v]dep[s] = dep[v] + W[v]dep[s]=dep[v]+W[v]。

2.考虑起点为 s，终点为 t，观察员为 v，且 t 在 v 的子树内，被v 观察到,
即满足 dis(s,t)=W[v]+dep[t]−dep[v]dis(s, t) = W[v] + dep[t] - dep[v]dis(s,t)=W[v]+dep[t]−dep[v]，
整理得dep[s]−2deplca(s,t)=W[v]−dep[v]dep[s]-2deplca(s,t) = W[v] - dep[v]dep[s]−2deplca(s,t)=W[v]−dep[v]。

权值线段树可以直接维护两个式子的左边。
于是问题就变成了统计每个观察员的子树中分别满足上述式子的人数。
统计子树信息且允许离线，直接从线段树合并即可，预处理lcalcalca倍增即可，树剖也可以做，求lcalcalca更快一些。
这里给出两种的做法，其实区别不大。（我不是同一时间写的，数组、变量名可能有一些区别）
膜xehothxehothxehoth大佬，在他讲了线段树合并之后才写的这道题，受益匪浅……

代码：
倍增

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
#define re register
inline char nc(){static char buf[1000],*p1=buf,*p2=buf;return p1==p2&&(p2=(p1=buf)+fread(buf,1,1000,stdin),p1==p2)?EOF:*p1++;
}
#define nc getchar
inline int rd(){int re data=0,w=1;static char ch=0;ch=getchar();while(!isdigit(ch)&&ch!='-')ch=getchar();if(ch=='-')w=-1,ch=getchar();while(isdigit(ch))data=(data<<1)+(data<<3)+(ch^48),ch=getchar();return data*w;
}
inline void write(int x){if(x<0)x=-x,putchar('-');if(x>9)write(x/10);putchar(x%10+'0');}
const int N=3e5+5;
int cnt,first[N],n,m,dfn,in[N],tim[N],out[N],ans[N],siz,rt[N*20],dep[N],fa[N][20];
struct edge{int v,nxt;}e[N<<1];
struct node{int s,t,lca;}q[N];
struct pt{int s,l,r;}tr[N*20];
inline void add(const int &u,const int &v){e[++cnt]=(edge){v,first[u]};first[u]=cnt;}
inline void dfs(int u){in[u]=++dfn;for(int re i=1;(1<<i)<=dep[u];i++)fa[u][i]=fa[fa[u][i-1]][i-1];for(int re i=first[u];i;i=e[i].nxt){int re v=e[i].v;if(v==fa[u][0])continue;dep[v]=dep[u]+1,fa[v][0]=u,dfs(v);}out[u]=dfn;
}
inline int lca(int x,int y){if(dep[x]<dep[y])swap(x,y);int re del=dep[x]-dep[y];for(int re i=0;i<20;i++)if((1<<i)&del)x=fa[x][i];if(x==y)return x;for(int re i=19;i>=0;i--)if(fa[x][i]!=fa[y][i])x=fa[x][i],y=fa[y][i];return fa[x][0];
}
inline void insert(int &p,int l,int r,int x,int v){if(!x)return;if(!p)p=++siz;tr[p].s+=v;if(l==r)return;int re mid=l+r>>1;if(x<=mid)insert(tr[p].l,l,mid,x,v);else insert(tr[p].r,mid+1,r,x,v);
}
inline int query(int &p,int ql,int qr,int l,int r){if(!p)return 0;if(ql<=l&&qr>=r)return tr[p].s;int re mid=l+r>>1,ret=0;if(ql<=mid)ret+=query(tr[p].l,ql,qr,l,mid);if(qr>mid)ret+=query(tr[p].r,ql,qr,mid+1,r);return ret;
}
signed main(){n=rd(),m=rd();for(int re i=1;i<n;i++){int re x=rd(),y=rd();add(x,y),add(y,x);}dep[1]=1,dfs(1);for(int re i=1;i<=n;i++)tim[i]=rd();for(int re i=1;i<=m;i++)q[i].s=rd(),q[i].t=rd(),q[i].lca=lca(q[i].s,q[i].t);for(int re i=1;i<=m;i++)insert(rt[dep[q[i].s]],1,n,in[q[i].s],1),insert(rt[dep[q[i].s]],1,n,in[fa[q[i].lca][0]],-1);for(int re i=1;i<=n;i++)ans[i]+=query(rt[dep[i]+tim[i]],in[i],out[i],1,n);siz=0,memset(tr,0,sizeof(tr)),memset(rt,0,sizeof(rt));for(int re i=1;i<=m;i++){int re d=(dep[q[i].s]-(dep[q[i].lca]<<1)+(n<<1));insert(rt[d],1,n,in[q[i].t],1),insert(rt[d],1,n,in[q[i].lca],-1);}for(int re i=1;i<=n;i++)ans[i]+=query(rt[tim[i]-dep[i]+(n<<1)],in[i],out[i],1,n);for(int re i=1;i<=n;i++)write(ans[i]),putchar(' ');exit(0);
}

树剖

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
#define re register
inline char nc(){static char buf[1000],*p1=buf,*p2=buf;return p1==p2&&(p2=(p1=buf)+fread(buf,1,1000,stdin),p1==p2)?EOF:*p1++;
}
#define nc getchar
inline int rd(){int re data=0,w=1;static char ch=0;ch=getchar();while(!isdigit(ch))ch=getchar();while(isdigit(ch))data=(data<<1)+(data<<3)+(ch^48),ch=getchar();return data*w;
}
inline void write(int x){if(x>9)write(x/10);putchar(x%10+'0');}
const int N=3e5+5;
int n,m,fa[N],siz[N],dep[N],dfn[N],tim,w[N],son[N],top[N],seg[N],ans[N],sz,cnt,first[N],rt[N<<2];
struct seg{int lc,rc,sum;}t[N<<5];
struct edge{int v,nxt;}e[N<<1];
struct node{int s,t,lca;}a[N];
inline void add(int u,int v){e[++cnt]=(edge){v,first[u]};first[u]=cnt;}
inline void dfs1(int u){siz[u]=1;for(int re i=first[u];i;i=e[i].nxt){int re v=e[i].v;if(v==fa[u])continue;dep[v]=dep[u]+1,fa[v]=u,dfs1(v),siz[u]+=siz[v];if(siz[v]>siz[son[u]])son[u]=v;}
}
inline void dfs2(int u){dfn[u]=++tim;if(son[u])top[son[u]]=top[u],dfs2(son[u]);for(int re i=first[u];i;i=e[i].nxt){int re v=e[i].v;if(v==fa[u]||v==son[u])continue;top[v]=v,dfs2(v);}
}
inline int lca(int x,int y){while(top[x]!=top[y]){if(dep[top[x]]<dep[top[y]])swap(x,y);x=fa[top[x]];}return dep[x]<dep[y]?x:y;
}
inline void insert(int &p,int l,int r,int x,int v){if(!x)return;if(!p)p=++sz;t[p].sum+=v;if(l==r)return;int re mid=l+r>>1;if(x<=mid)insert(t[p].lc,l,mid,x,v);else insert(t[p].rc,mid+1,r,x,v);
}
inline int query(int p,int l,int r,int ql,int qr){if(!p)return 0;if(ql<=l&&r<=qr)return t[p].sum;int re mid=l+r>>1,ret=0;if(ql<=mid)ret+=query(t[p].lc,l,mid,ql,qr);if(qr>mid)ret+=query(t[p].rc,mid+1,r,ql,qr);return ret;
}
signed main(){int size=19<<20;//网站开栈__asm__("movq %0,%%rsp"::"r"((char*)malloc(size)+size));n=rd(),m=rd();for(int re i=1;i<n;i++){int re x=rd(),y=rd();add(x,y),add(y,x);}dfs1(1),dfs2(1);for(int re i=1;i<=n;i++)w[i]=rd();for(int re i=1;i<=m;i++)a[i].s=rd(),a[i].t=rd(),a[i].lca=lca(a[i].t,a[i].s);for(int re i=1;i<=m;i++)insert(rt[dep[a[i].s]],1,n,dfn[a[i].s],1),insert(rt[dep[a[i].s]],1,n,dfn[fa[a[i].lca]],-1);for(int re i=1;i<=n;i++)ans[i]+=query(rt[dep[i]+w[i]],1,n,dfn[i],dfn[i]+siz[i]-1);sz=0,memset(t,0,sizeof(t)),memset(rt,0,sizeof(rt));for(int re i=1;i<=m;i++){int re d=(dep[a[i].s]-(dep[a[i].lca]<<1)+(n<<1));insert(rt[d],1,n,dfn[a[i].t],1),insert(rt[d],1,n,dfn[a[i].lca],-1);}for(int re i=1;i<=n;i++)ans[i]+=query(rt[w[i]-dep[i]+(n<<1)],1,n,dfn[i],dfn[i]+siz[i]-1);for(int re i=1;i<=n;i++)write(ans[i]),putchar(' ');exit(0);
}

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