让微积分穿梭于工作与学习之间（14）：带圆弧多边形的面积计算（下，多值函数的情况）
这篇我们来研究下如何让多值函数在不拆分的情况下也能进行计算，毕竟曲线情况复杂了之后，拆分不一定是件容易的事情。
在上篇我们对圆方程进行积分的时候，为了去掉其中的根号，我们用了三角换元的方法。
这里我们求的是一段半圆弧的积分，然后积分的上下限之差也刚好等于pi，即一个半圆弧的弧度，那么，这个换元跟角度旋转之间是不是隐含了什么特别的关系呢？
通常情况下，我们说的夹角都是指连线跟x轴正向的夹角。然后用夹角来表示xy坐标的式子一般都是长这个样：
x=Rcosθ，y=Rsinθ。
可见x跟余弦相关。这么说，如果上面的换元改成cost而不是sint的话，那出来的结果也许就跟图形实际的几何特性更为贴近了。
然后我们把被积函数的图像画出来。
换元之后，积分区间变成0到pi，然后由于它表示从B到A的积分，所以我们看看OB和OA跟x轴正向的夹角。
OB跟x轴正向完全一致，夹角为0。
OA跟x轴正向完全相反，夹角为pi。
艾玛，还真的跟换元后的积分区间完全一致哦。
以上积分结果为-pi/2。那么，如果我们把圆弧换成下半段，并且不使用分段函数，而是把积分区间换成0到-pi，看看能否得到pi/2这样的一个结果。
哈哈，还真的可以。
也就是说，我们改用角度来积分，就不用再对圆弧进行分段计算了。那么，我们可以再简单点，直接用上面的参数方程x=Rcosθ，y=Rsinθ来进行计算，那连根号都可以给省下来。
这样的话，对于上半段半圆弧，我们可以这样积分：
下半段与之相似，不再重复。
如果圆心不在(0,0)点上，那么其参数方程就应该加上圆心坐标，如下所示。
这样的话，对于上下半段共存的情况，我们算起来也易如反掌了。
下面我们来算下上篇的这一个图形的面积。
两条直边的不多说了，它们的积分结果分别是1和0。
然后我们来算OBA弧的积分，它的圆心为(0,1)，半径为1，其参数方程为。
然后从O到A，角度从-pi/2变化到pi，所以代入积分公式中得到：
注意到y和x已经是多值函数了，因为在转成参数方程之前已经无法给出积分区间了。
现在加上两条直边的积分1和0，得到最终的结果为-3/4*pi，它是个负数，说明我们算面积的时候，图形的绕序是逆时针。
站在初等几何的角度，这是个半径为1的3/4圆，所以面积为3/4*pi。因此，用微积分法得到的结果是正确的！
经过这两篇的学习之后，我们可以求出带任意圆弧多边形的面积了。至于它能否用于计算其它曲线边的图形，这取决于被挤函数的积分难度。但至少，基于幂函数的贝塞尔曲线，它在参数方程的模式下进行计算是绝对可行的！
然后我不打算再针对贝塞尔曲线开一篇新的文章了，因为套路完全一致，如果真有需要并且不太懂的，可以在本文下方给我留言。
在微积分学中，我们都是先学微分再学积分，但我的文章却先把积分的应用放到了前面。这是因为我工作中大量用到微分的例子，它涉及到了一个可能很多朋友都不太熟悉的业务背景，所以就这么开了个头。
下篇开始，我会用微积分的思想讲解一种方程，它通过一个属性把直线和圆弧给有机统一起来，然后目前最被广泛应用到的地方是绘图软件，AutoCAD数据的使用以及生产领域，敬请期待！
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