让微积分穿梭于工作与学习之间（13）：带圆弧多边形的面积计算（上）

上篇我用了抛物线作为曲边，那理所当然地我们该用微积分来计算。但是如果换成圆弧，那我们可能还会想着能不能用回初等的方法来求解呢？

答案是可以，但是你会发现这将变得非常麻烦。不过有的人（包括为我）一开始总是不会死心。

比如下面这个图形，要算它的面积，只要在三角形面积的基础上加上拱形的部分即可。

然后再看看下面的这个，弧线的方向反了，拱形的部分得减掉。

那么问题来了，什么时候应该加，什么时候又应该减呢？在此我可以告诉大家，有通用的办法，哪怕实现起来比较繁琐，不过文中我不打算展开讨论。我在三维家面试别人的时候问过这样的问题，然后他们都很难给出一个很好的答案出来。

然后，就算让你判断到了弧线的凹凸，那这种情况又不一样了，得换成拱形-三角形。

随着边数的增加，通过直边多边形加减拱形来计算面积的方法将变得越来越不可靠，比如下面的图形。

所以，我们还是用回微积分的套路更加实在。

现在我们把上一篇中的图形搬过来，然后把抛物线的边换成圆弧，如下图所示。

这段圆弧在以（0,1）为圆心，半径为1的圆上，其方程为

然后，转换为y=f(x)的形式，就是

在开方过程中产生了一个多值函数，然后由于这段圆弧全位于圆心的下方，所以我们取负的那段。

两段直线的积分在前面已经有讲解过，此处不再重复。

下面我们来算下圆弧的。按照走向，它的起点x坐标是1，终点是-1，因此积分的计算式子是

根号部分用三角函数换元的套路进行去根号操作，具体过程如下，看不懂的可以自行查阅相关资料或者给我留言。

结果是pi/2-2，根据定义，它表示的是下图绿色部分的面积。

直接观察的话，这部分面积等于2*1的矩形-半径为1的半圆所得，即2-pi/2。

可见用积分算出来的结果跟实际面积一致，只是符号反了，因为积分的方向是从右到左。

然后，我们把上篇算出来的直线部分的积分结果给搬过来，AB和BC均为1.5，因此最终的积分结果为

1.5+1.5+pi/2-2=1+pi/2。

如果换成上半段圆弧

那么只要把积分的表达式中根号部分的负号去掉，变成这个样子：

就能把上图的面积给算出来了：

因为只是符号的变更，所以过程就不列出来了。

可以看到结果是个负数，这是正常现象，在第3篇我们提到了，图形的绕序决定了面积的符号。如果不用来判断绕序的话，我们只要取结果的绝对值即可。

从上一篇到这里，我们没看出有什么新的技巧，只是积分的函数变了，所以接下来我想要讲的是这种情况：圆弧的上下半段同时存在。这时候被积函数成为了多值函数。

我们可以把这段圆弧拆成两半分别算，但是这种做法需要加入各种判断，你得判断这段圆弧是否经过了分界点，具体经过的分界点又是哪个。

也可能有的人觉得，圆弧的这种判断很容易啊。嗯这也许是，不过如果是换成其它的多值函数，比如贝塞尔曲线，那么这个分界点的判断就变得蛋疼多了。

如果这个时候，能在不拆分贝塞尔曲线BC的情况下直接算得其积分的话，那这个套路就不会因为多值而变得复杂了。

然而这篇写长了，所以我打算先让大家缓一缓，放到下篇再继续。

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