让微积分穿梭于工作与学习之间（29）：夹逼公式的几种变体

对CAD圆弧直线不了解的朋友可以先阅读以下博文：

https://blog.csdn.net/iloveas2014/article/details/103837857

https://blog.csdn.net/iloveas2014/article/details/103848611

前面的两个公式（弧长，定比分点）在推导的过程中，为了适应夹逼公式，我们做了一些比较刻意的变换，这些变换有时候是不积极的，因为它们可能会带来更多的性能损耗或者精度损失。

比如

又如反三角函数的

这些变换虽然是预先手算完成，但是写到代码上可能还不如分开条件判断。

如果不是刻意追求只能有一条夹逼公式的话，那么我们完全可以多定义几种夹逼公式以便在不用的地方使用。

这里我给出6个夹逼公式，其中第一个不是变体。

function 正弦夹逼公式(x){return x != 0 ? Math.sin(x) / x : 1;
}function 正切夹逼公式(x){return x != 0 ? Math.tan(x) / x : 1;
}function 反正弦夹逼公式(x){return x != 0 ? Math.asin(x) / x : 1;
}function 反正切夹逼公式(x){return x != 0 ? Math.atan(x) / x : 1;
}function 双正弦夹逼公式(k1, k2, x){return x != 0 ? Math.sin(k1 * x) / Math.sin(k2 * x) : (k1 / k2);
}function 双正切夹逼公式(k1, k2, x){return x != 0 ? Math.tan(k1 * x) / Math.tan(k2 * x) : (k1 / k2);
}

有了这些变体，我们的一些公式写起来会更加方便。比如弧长公式，现在的是

CircleArcStraightLine.prototype.arcLength = function(){//s为起点，e为终点，b为凸度var straightLength = Math.sqrt((this.e.x - this.s.x) * (this.e.x - this.s.x) + (this.e.y - this.s.y) * (this.e.y - this.s.y));    var u = Math.atan(b);return straightLength / 夹逼公式(u) * Math.sqrt(1 + this.b * this.b);
}

改用变体后，就变成

CircleArcStraightLine.prototype.arcLength = function(){//s为起点，e为终点，b为凸度var straightLength = Math.sqrt((this.e.x - this.s.x) * (this.e.x - this.s.x) + (this.e.y - this.s.y) * (this.e.y - this.s.y));    return straightLength / 正切夹逼公式(b) * (1 + this.b * this.b);
}

定比分点能简单更多，读者可以自行尝试。

下一篇我打算把投影面积也用夹逼公式算出来，敬请期待！

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