数论2 同余、逆元和费马定理

今天我们来学习第二次数论。

我们首先要接触的是同余，意思就是a和b同时除以n，余数相等，记作A≡B(mod N)，读作A和B模N同余。

这里“三道杠”的符号是全等号。

接下来基本上全是干货和公式，数学不好者慎入：

1，费马定理

费马定理分费马小定理和费马大定理，接下来分别介绍。

（作者声明：以下的公式属于中高级数学，包含同余式和费马小定理的应用，如果你数学不好，请先去恶补一下这些，再来读这一部分）

1，费马大定理

当整数n>2时，关于x,y,z的方程x^n+y^n=z^n没有正整数解。

这个定理据说是费马看古希腊数学家丢番图的文章时写下来的，但是他在公式末附了一句话：我可以用一个巧妙的方法来证明，可是纸太小了，我写不开。

因此费马犯了个大错误，直到现在也没人知道他的证明方法是什么。

（作者有话说：@费马你附张纸不行嘛？）

这个以后详细介绍，今天我们主要讲费马小定理。

2，费马小定理

如果我们定义一个p为素数，且定义a和b，a%p≠0，则a^p-1≡1（mod p）。

接下来数学不好者慎入，我们要来证明他了：

首先创造一个集合x，包含所有小于p得数，显然p与集合里的所有数互质。

我们在定义一个集合X，用公式表示是a*x{1,......,p-1}%p=X{a%p,2a%p,......,(p-1)a%p}，

将两个集合里的数分别相乘：(p-1)! % p=a^(p-1)*(p-1)! % p

把所有(p-1)!去掉，得到这个式子：

1(mod p)≡a^(p-1)(mod p)，可以推出式子

a^(p-1)≡1(mod p)。

接下来的逆元，数学分数在A以下的请慎入。

逆元的概念可以这样理解：我们定义b和m，且b和m互质。定义a和b，且a是b的倍数。

则存在一个数x，使得a/b=a*x(mod m)，即为b^-1（不是b的-1次方，这里是代表b的逆)(mod m)

接下来还是数学不好的慎入，我们要利用费马小定理证明逆元。

我们先列出一个等式：a/b%m=a*(b^-1)%m，前提是m是个素数。

然后我们把这个式子扩展一下：a/b*b*(b^-1)%m=a*(b^-1)%m。

因为/b和*b抵消了，把它们去掉，成了这样：1%m=b*(b^-1)%m

然后根据这个等式推出：b*(b^-1)≡1(mod m),也就是b*(b^(m-2))≡1(mod m)

接下来再接着推：(b^-1)%m=(b^(m-2))%m

我们把上面的式子化简一下，就得到了逆元的公式：b^(m-2)≡b^-1(mod m)。

光说公式可能有点晦涩，下面的解说是针对数学不太好的人设置的。

首先，你知道a除以b等于a乘b的逆（显而易见的一个公式）。

接着你有点闲，把上边的式子展开了：a除以b乘b乘b的逆等于a乘b的逆。（这一步看似没什么用，实际上后面的一系列推理全靠这个）

把这式子化简，你得到了一个结果：1模m等于b乘b的逆模m，借此你知道b乘b的逆和1模m同余。

接下来应用到了费马小定理，你利用上面的等式知道了b乘b的m-2次方也和1模m同余。所以你推出来b的逆模m等于b的m-2次方模m。

你又可以知道一个关系：b的m-2次方和b的逆模m同余。现在你已经推出来逆元的基本公式了。

接下来我们就要用代码来实现求逆元了。

题目，走起：

1，

越狱

时间限制：1秒内存限制：128M

题目描述

监狱有连续编号为1...N的N个房间，每个房间关押一个犯人，有M种宗教，每个犯人可能信仰其中一种。如果相邻房间的犯人的宗教相同，就可能发生越狱，求有多少种状态可能发生越狱。

输入描述

输入两个整数M，N.1<=M<=1e8,1<=N<=1e8。

输出描述

输出可能的越狱状态数，对2020取模。

样例

输入

2 3

输出

解析：

这个题实际上是让两个人的信仰相同。

但是这样不好算，怎么办？

我们可以用所有的情况数量减去不可能越狱的情况，就是可能越狱的情况了。

注意：这里涉及到了快速幂和前缀和，复习一下吧。


long long ksm(long long x,long long y)
{long long sum=1,t=x%2020;while(y){if(y&1) sum=sum*t%2020;t=t*t%2020;y>>=1;}return sum%2020;
}
int main()
{//cinlong long ans=(ksm(m,n)-(m*ksm(m-1,n-1))%2020+2020)%2020;//coutreturn 0;
}

（作者有话说：其实还有一种快速乘法，就是把快速幂的代码改一改。代码如下：

/*快速乘(y个x相加)
long long ksc(long long x,long long y)
{
long long sum=1,t=x%2020;
while(y)
{
if(y&1) sum=(sum+t)%2020;
t=(t+t)%2020;
y>>=1;
}
return sum%2020;
}
*/

还有一种更快的快速乘，我们以后再讲。）

2，车的放置

时间限制：1秒内存限制：128M

题目描述

有下面这样的一个网格棋盘，a,b,c,d 表示了对应边长度，也就是对应格子数：

要在这个棋盘上放 k 个相互不攻击的车，也就是这 k 个车没有两个车在同一行，也没有两个车在同一列，问有多少种方案。（注：输出答案 %100003 后的结果。）

输入描述

共一行，五个非负整数 a,b,c,d,k(1≤a,b,c,d,k≤1000)

输出描述

包括一个正整数，为答案 mod100003 后的结果。保证至少有一种可行方案

样例

输入

2 2 2 2 2

输出

提示

解析：

这个题可以通过画图来解决，我们假设地图是这样的：

因为象棋里的车能吃掉跟他同一行或同一列的棋子，所以车不能放在与任何一辆车同行同列的地方。

按照之前的地图，总共的方法就是：

C(a，k)*A（b，k）（行上的和列上的）

但是实际的地图是这样：

你以为这样就求不出来了？错！

我们可以把他划一刀，切成两个图1的形状，这样就好算了：

上边能放i个子，下面就只能放k-i个，有a+c-i列可以放。

我们只需要分别求两个图形里的方案数量，再相乘。

上半部分是C(b,i)*A(a,i)

下半部分是C(d,k-i)*A(a+c-i,k-i)

再把他们乘起来就行了。

这个题是橙区代码，有点多

long long ksm(long long x,long long y)
{long long sum=1;x%=mod;while(y){if(y&1) sum=(sum*x)%mod;x=(x*x)%mod;y>>=1;}return sum%mod;
}
long long C(int a,int b)
{if(a<b) return 0;return fac[a]*infac[b]%mod*infac[a-b]%mod;
}
long long A(int a,int b)
{if(a<b) return 0;return fac[a]*infac[a-b]%mod;
}
int main()
{fac[0]=infac[0]=1;for(int i=1;i<=N-1;i++){fac[i]=fac[i-1]*i%mod;infac[i]=infac[i-1]*ksm(i,mod-2)%mod;//逆元来喽}//cinfor(int i=0;i<=k;i++) ans=(ans+C(b,i)*A(a,i)%mod*C(d,k-i)*A(a+c-i,k-i)%mod)%mod;//cout
}

好了，今天的课就到这里了，再见~

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