求 14 5 89 + 3 2002 145^{89}+3^{2002} 14589+32002 除以 13 13 13 的余数

知识点

同余理论。

解

∵ 145 = 11 × 13 + 2 \because 145=11\times 13+2 ∵145=11×13+2
∴ 14 5 89 ≡ ( 11 × 13 + 2 ) 89 ≡ 2 89 ( m o d 13 ) \therefore 145^{89} \equiv (11\times 13+2)^{89} \equiv 2^{89}\pmod {13} ∴14589≡(11×13+2)89≡289(mod13)
下面我们继续找 2 89 2^{89} 289 和 13 13 13 的关系。 64 = 13 × 5 − 1 64=13\times 5-1 64=13×5−1。
2 6 = 64 = 13 × 5 − 1 2^6=64=13\times 5-1 26=64=13×5−1
2 89 = 2 5 ⋅ ( 2 6 ) 14 = 2 5 ⋅ ( 13 × 5 − 1 ) 14 2^{89}=2^{5}\cdot (2^{6})^{14}=2^{5}\cdot (13 \times 5-1)^{14} 289=25⋅(26)14=25⋅(13×5−1)14
即 2 89 ≡ 2 5 ⋅ ( − 1 ) 14 ≡ 6 ( m o d 13 ) 2^{89} \equiv 2^{5}\cdot (-1)^{14} \equiv 6 \pmod {13} 289≡25⋅(−1)14≡6(mod13)
再找 3 2020 3^{2020} 32020 和 13 13 13 的关系。 3 3 = 27 = 2 × 13 + 1 3^3=27=2\times 13+1 33=27=2×13+1。
即 3 2020 ≡ 3 1 ⋅ ( 3 3 ) 673 ≡ 3 ⋅ ( 26 + 1 ) 672 ≡ 3 ⋅ ( 1 ) 672 ≡ 3 ( m o d 13 ) 3^{2020}\equiv 3^1\cdot (3^3)^{673} \equiv 3 \cdot (26+1)^{672} \equiv 3\cdot(1)^{672}\equiv 3 \pmod {13} 32020≡31⋅(33)673≡3⋅(26+1)672≡3⋅(1)672≡3(mod13)
∴ ( 14 5 89 + 3 2020 ) ≡ ( 6 + 3 ) ≡ 9 ( m o d 13 ) \therefore (145^{89}+3^{2020}) \equiv (6+3) \equiv 9 \pmod {13} ∴(14589+32020)≡(6+3)≡9(mod13)

求 202 1 2022 2023 2021^{{2022}^{2023}} 202120222023 的末三位。

知识点

同余问题。

解

202 2 2023 ≡ ( 2000 + 22 ) 2023 ≡ 2 2 23 ≡ 848 ( m o d 1000 ) 2022^{2023}\equiv(2000+22)^{2023} \equiv 22^{23} \equiv 848\pmod {1000} 20222023≡(2000+22)2023≡2223≡848(mod1000)
202 1 2022 2023 ≡ 202 1 848 ≡ ( 2000 + 21 ) 848 ≡ 2 1 848 ( m o d 1000 ) 2021^{{2022}^{2023}} \equiv 2021^{848} \equiv (2000+21)^{848} \equiv 21^{848} \pmod {1000} 202120222023≡2021848≡(2000+21)848≡21848(mod1000)
使用杨辉三角展开，可得
2 1 848 = ( 20 + 1 ) 848 = ( 848 0 ) ⋅ 2 0 848 ⋅ 1 0 + ( 848 1 ) ⋅ 2 0 847 ⋅ 1 1 + ⋯ + ( 848 845 ) ⋅ 2 0 3 ⋅ 1 845 + ( 848 846 ) ⋅ 2 0 2 ⋅ 1 846 + ( 848 847 ) ⋅ 2 0 1 ⋅ 1 847 + ( 848 848 ) ⋅ 2 0 0 ⋅ 1 848 21^{848}=(20+1)^{848}=\binom {848}{0}\cdot20^{848}\cdot1^{0}+\binom {848}{1}\cdot20^{847}\cdot1^{1}+\cdots+\binom {848}{845}\cdot20^{3}\cdot1^{845}+\binom {848}{846}\cdot20^{2}\cdot1^{846}+\binom {848}{847}\cdot20^{1}\cdot1^{847}+\binom {848}{848}\cdot20^{0}\cdot1^{848} 21848=(20+1)848=(0848)⋅20848⋅10+(1848)⋅20847⋅11+⋯+(845848)⋅203⋅1845+(846848)⋅202⋅1846+(847848)⋅201⋅1847+(848848)⋅200⋅1848
末三位只和最后三项有关。
( ( 848 846 ) ⋅ 2 0 2 ⋅ 1 846 ) ( m o d 1000 ) = ( ( 848 2 ) ⋅ 2 0 2 ⋅ 1 846 ) ( m o d 1000 ) = ( 848 ∗ 847 2 ⋅ 400 ) ( m o d 1000 ) = ( 848 ∗ 847 ∗ 200 ) ( m o d 1000 ) = ( ( 848 ∗ 200 ) ( m o d 1000 ) ∗ 847 ) ( m o d 1000 ) = ( 600 ∗ 847 ) ( m o d 1000 ) = 508200 ( m o d 1000 ) = 200 (\binom {848}{846}\cdot20^{2}\cdot1^{846})\pmod {1000}\\ =(\binom {848}{2}\cdot20^{2}\cdot1^{846})\pmod {1000}\\ =(\frac{848*847}{2}\cdot400)\pmod {1000}\\ =(848*847*200)\pmod {1000}\\ =((848*200)\pmod{1000}*847)\pmod{1000}\\ =(600*847)\pmod{1000}\\ =508200\pmod{1000}=200 ((846848)⋅202⋅1846)(mod1000)=((2848)⋅202⋅1846)(mod1000)=(2848∗847⋅400)(mod1000)=(848∗847∗200)(mod1000)=((848∗200)(mod1000)∗847)(mod1000)=(600∗847)(mod1000)=508200(mod1000)=200
( ( 848 847 ) ⋅ 2 0 1 ⋅ 1 847 ) ( m o d 1000 ) = ( ( 848 1 ) ⋅ 2 0 1 ⋅ 1 847 ) ( m o d 1000 ) = ( 848 × 20 × 1 ) ( m o d 1000 ) = 960 (\binom {848}{847}\cdot20^{1}\cdot1^{847})\pmod {1000}\\ =(\binom {848}{1}\cdot20^{1}\cdot1^{847}) \pmod {1000}\\ =(848\times20\times1)\pmod {1000}\\ =960 ((847848)⋅201⋅1847)(mod1000)=((1848)⋅201⋅1847)(mod1000)=(848×20×1)(mod1000)=960
( ( 848 848 ) ⋅ 2 0 0 ⋅ 1 848 ) ( m o d 1000 ) = 1 (\binom {848}{848}\cdot20^{0}\cdot1^{848})\pmod{1000}=1 ((848848)⋅200⋅1848)(mod1000)=1
即末三位为 ( 200 + 960 + 1 ) ( m o d 1000 ) = 161 (200+960+1)\pmod {1000}=161 (200+960+1)(mod1000)=161

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知识点

解

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知识点

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