DFT 离散傅里叶变换

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公式:
f ^ k = ∑ j = 0 n − 1 f j e ( − 2 π i / n ) ∗ k ∗ j \hat{f}_{k} =\sum_{j=0}^{n-1} {f}_{j} e^{(-2\pi i/n)*k*j} f^k=j=0∑n−1fje(−2πi/n)∗k∗j

ω n = e − 2 π i / n \omega_{n}=e^{-2\pi i/n} ωn=e−2πi/n
i 2 = − 1 i^{2}=-1 i2=−1

矩阵展开:
[ f 0 ^ f 1 ^ f 2 ^ . . f k ^ . . f n − 1 ^ ] = [ 1 1 1 ⋯ 1 ⋯ 1 1 ω n ω n 2 ⋯ ω n k ⋯ ω n n − 1 1 ω n 2 ω n 4 ⋯ ω n 2 k ⋯ ω n 2 ( n − 1 ) ⋮ ⋮ ⋮ ⋱ ⋮ ⋱ ⋮ 1 ω n k ω n 2 k ⋯ ω n k k ⋯ ω n k ( n − 1 ) ⋮ ⋮ ⋮ ⋱ ⋮ ⋱ ⋮ 1 ω n n − 1 ω n 2 ( n − 1 ) ⋯ ω n k ( n − 1 ) ⋯ ω n n − 1 2 ] [ f 0 f 1 f 2 . . f k . . f n − 1 ] \begin{bmatrix} \\ \hat{f_{0} } \\ \hat{f_{1} } \\ \hat{f_{2} } \\ {..} \\ \hat{f_{k} } \\ {..} \\ \hat{f_{n-1} } \end{bmatrix} =\begin{bmatrix} 1 & 1 & 1 &\cdots & 1 &\cdots & 1 \\ 1 & \omega_{n}^{} & \omega_{n}^{2} &\cdots &\omega_{n}^{k} &\cdots &\omega_{n}^{n-1} \\ 1 & \omega_{n}^{2} & \omega_{n}^{4} &\cdots &\omega_{n}^{2k} &\cdots &\omega_{n}^{2(n-1)} \\ \vdots & \vdots & \vdots& \ddots& \vdots& \ddots & \vdots \\ 1 & \omega_{n}^{k} & \omega_{n}^{2k} &\cdots &\omega_{n}^{kk} &\cdots &\omega_{n}^{k(n-1)} \\ \vdots & \vdots & \vdots& \ddots& \vdots& \ddots & \vdots \\ 1 & \omega_{n}^{n-1} & \omega_{n}^{2(n-1)} &\cdots &\omega_{n}^{k(n-1)} &\cdots &\omega_{n}^{{n-1}^2} \\ \end{bmatrix} \begin{bmatrix} \\ {f_{0} } \\ {f_{1} } \\ {f_{2} } \\ {..} \\ {f_{k} } \\ {..} \\ {f_{n-1} } \end{bmatrix} ⎣⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎡f0^f1^f2^..fk^..fn−1^⎦⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎤=⎣⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎡111⋮1⋮11ωnωn2⋮ωnk⋮ωnn−11ωn2ωn4⋮ωn2k⋮ωn2(n−1)⋯⋯⋯⋱⋯⋱⋯1ωnkωn2k⋮ωnkk⋮ωnk(n−1)⋯⋯⋯⋱⋯⋱⋯1ωnn−1ωn2(n−1)⋮ωnk(n−1)⋮ωnn−12⎦⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎤⎣⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎡f0f1f2..fk..fn−1⎦⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎤

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