离散傅里叶变换(DFT)(为了使用而学习的DFT)
1. 离散周期信号的傅里叶级数及其系数(DFS)
1)针对的对象:周期离散序列,设周期为N;
2)像连续周期信号那样用傅里叶级数表示信号,也即周期序列x[n]的傅里叶级数(DFS)表示:
其中:
从上面的公式中可以看到,积分限从0到N-1,而非像连续周期信号的傅里叶级数那样,从到,这是为什么呢?也就是说,为什么不像连续周期信号的傅里叶级数一样,需要无穷多个成谐波关系的复指数合成?
这是因为:
即对于n来说,是以N为周期的,所以只需要一个周期就可以了。
(连续周期信号的傅里叶变换要不要贴出来呢?)
3)下面在给出傅里叶系数的表达式:
(要不要推导一个这个式子怎么来的呢?)
注意:上面的DFS以及IDFS,自变量的取值范围都是从负无穷到正无穷。
之所以要先讲离散傅里叶级数,是因为它和离散傅里叶变换有看上去不小的联系呢,至少可以直观的、感官上地对比。
2. 离散傅里叶变换(DFT)
正变换公式(DFT):
逆变换公式(IDFT):
DFT的矩阵形式:
IDFT的矩阵形式:
对比DFS与DFT可以很明显的看到,二者之间的关系为:
除了取值范围不同,其他基本一致,实际应用中,要处理的信号大多数为有限长的非周期信号,因此DFT更常用。
DFT只不过是特殊的DFS,就是对DFS的时域和频域只取主值部分。
矩阵形式的DFT参考:浅谈离散傅里叶变换和快速算法
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手稿版:
这部分参考:写的不错的博文
离散傅立叶级数(DFS)中的无限长序列和都是以N为周期的周期序列,所以在计算离散时间周期序列及其频谱时,可以利用DFS的周期性,只需要在时域和频域各取一个主值序列,用计算机各计算一个周期中的N个样值,最后将所得的主值序列x(n)和X(k)进行周期延拓,即可得到原来的无限长序列和。
由DFT的导入过程可以发现,DFT不仅可以解决无限长周期序列的计算机运算问题,而且更可以解决有限长序列的计算机运算问题。事实上,对于有限长离散序列,总可以把时域和频域的变换区间(序列长度)均取为N(包括适当数量的补0点),通常把N称之为等间隔采样点数,我们可以把这个N点的变换区间视为某个周期序列的一个主值序列,直接利用DFT的定义计算其N点变换。
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