数学建模插值法——三次埃尔米特插值三次样本插值(笔记)
今天学习了插值法的matlab实现。
我们接触过五种基本的插值方法,有拉格朗日插值、牛顿插值、分段线性插值、分段三次Hermite插值和样条插值(三次)。
插值法在数学建模中的应用:数模比赛中,常常需要根据已知的函数点进行数据、模型的处理和分析,而有时候现有的数据是极少的,不足以支撑分析的进行,这时就需要使用一些数学的方法,“模拟产生”一些新的但又比较靠谱的值来满足需求,这就是插值的作用。
一般来讲,数学建模中主要用到的是 分段三次Hermite插值和三次样条插值
而matlab中都有对应的函数(感慨一下:matlab真强大!)
这两种插值的matlab实现也是本文的重点。
接下来先来用数学定义简单解释一下 分段三次Hermite插值和三次样条插值给有需要的人(便于理解)
1)分段三次Hermite插值
① 埃尔米特插值多项式:插值多项式要求在插值节点上函数值相等,有的实际问题还要求在节点上的导数值相等,甚至高阶导数值也相等,满足这种要求的插值多项式成为埃尔米特插值多项式。
(直接使用埃尔米特插值得到的多项式次数较高,也存在龙格现象,因此在实际应用中,往往使用分段三次埃尔米特插值多项式)
② 分段三次埃尔米特插值:
2)三次样条插值函数
其次,再用matlab分别实现两种插值法
这里应用背景是:MathorCup第六届A题 淡水养殖池塘水华发生及池水净化处理
这道题中,附件2中COD、溶氧、PH值等数据均是隔两周采样一次,数据量不足以用于建立合理的模型,因此要考虑现有数据进行插值以补充数据。具体附件截图如下:
接下来用matlab进行数据补充实现(注:叶绿素A、B、C以及CA2+、MG+等数据不做插值 )
这是我写的代码:
1、三次埃尔米特插值(spline函数):
(1)代码部分:
(2)运行结果:
2、三次样条插值
(1)代码部分(pchip函数):
(2)运行结果:
经过两次试验发现,大体上三段埃尔米特插值和三次样条插值插值效果相似,三次样条插值生成的曲线更加平滑。由于我们不知道数据的生成过程,因此这两种插值都可以使用。
注:以上内容均参考清风老师的数学建模视频讲解
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