埃尔米特插值（等距节点，只用一个点的导数构造n+1阶Hermite多项式）Python实现

函数

y=11+x2y=11+x2

y = \frac{1}{1+x^2}

埃尔米特插值

埃尔米特多项式构造方法有很多种。
这里只是用最简单的一种，通过均差来进行构造，最后再通过任意一个点的导数来计算出一个待定系数（这里假设的是m）。

下面代码中使用的是第一个点的导数相等来作为限制，算出这个多项式。

插值效果

代码

下面代码就是根据之前的拉格朗日插值改进得到的。所以那个label那个就是用拉格朗日的做默认值

有必要解释一下，ff(x)这个函数，只能传一个数组类型，然后算的这个数组的均差。

注意到，这里算出的来的跟之前直接用拉格朗日算出的来数值loss的绝对值均值基本相等。

import numpy as np
from sympy import *
import matplotlib.pyplot as pltdef f(x):return 1 / (1 + x ** 2)def ff(x):  # f[x0, x1, ..., xk]ans = 0for i in range(len(x)):temp = 1for j in range(len(x)):if i != j:temp *= (x[i] - x[j])ans += f(x[i]) / tempreturn ansdef draw(L, newlabel= 'Lagrange插值函数'):plt.rcParams['font.sans-serif'] = ['SimHei']plt.rcParams['axes.unicode_minus'] = Falsex = np.linspace(-5, 5, 100)y = f(x)Ly = []for xx in x:Ly.append(L.subs(n, xx))plt.plot(x, y, label='原函数')plt.plot(x, Ly, label=newlabel)plt.xlabel('x')plt.ylabel('y')plt.legend()plt.savefig('1.png')plt.show()def lossCal(L):x = np.linspace(-5, 5, 101)y = f(x)Ly = []for xx in x:Ly.append(L.subs(n, xx))Ly = np.array(Ly)temp = Ly - ytemp = abs(temp)print(temp.mean())def calM(P, x):Y = 1 / (1 + n ** 2)dfP = diff(P, n)return solve(Y.subs(n, x[0]) - dfP.subs(n, x[0]), [m,])[0]if __name__ == '__main__':x = np.array(range(11)) - 5y = f(x)n, m = symbols('n m')init_printing(use_unicode=True)P = f(x[0])for i in range(len(x)):if i != len(x) - 1:temp = ff(x[0:i + 2])else:temp = mfor j in x[0:i + 1]:temp *= (n - j)P += tempP = expand(P)P = P.subs(m, calM(P, x))draw(P, newlabel='Hermite插值多项式（-5点导数相等）')lossCal(P)

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