第一章:1.2.2系统分类(二)
可逆与不可逆系统
如图所示,可逆系统的定义与可逆函数的定义完全类似。具有反函数的函数是可逆函数。如果一个系统可以写成可逆函数的形式,那么这个系统是可逆系统
像y=x^3 是可逆系统,y=x^2就是不可逆系统
对于可逆系统有如下关系
我们对可逆系统和不可逆系统分别举几个例子
对于不可逆的系统我们做几点说明,对于(2)而言不同点的冲激响应函数可以是0也可以不是0,因此是不可逆的。
对于(3)而言,这个函数把奇数位的信号全部丢弃,只保留偶数位的信号。因此我们确实可以构造出两个不同的序列,他们的偶数位信息相同,奇数位不同。但最后的结果是相同的,因此也是不可逆的。他之所以不可逆是因为系统丢弃了奇数位的信息,这些信息是无法恢复的
注意(3)所对应的连续时间系统(4)是可逆的,这也反映了连续时间系统和离散时间系统之间的区别
我们知道对于累加系统实际对应的连续时间系统的积分操作。累加系统的逆系统是差分系统
积分系统所对应的逆系统是微分操作,那么微分系统是否是可逆的呢?
我们知道,如果两个信号之前相差一个常量,那个微分之后是相同的。因此我们知道微分后系统实际上是不可逆系统。如果信号在负无穷处是0的话,也就是常数C对应的是0,那么这个系统又变得是可逆得了。
最后我们来做一个总结,如果一个信号进行积分或者累加,那么他是可逆的。可逆运算分别是微分和差分。如果一个信号进行微分微分或者差分运算,那个这个信号往往是不可逆的。除非信号在负无穷处对应的值是0,此时的信号才可以称得上是可逆的
因果与非因果系统
如图所示这个平滑滤波算法,他就根据前一时刻的点和后一时刻的点进行平滑过滤,显然这是非因果系统。但是因为不涉及时间概念,所以也是可以操作实现的
我们举几个非因果系统的例子
线性与非线性系统
我们需要注意的是齐次性和叠加性是相互独立的,可以只满足齐次性而不满足叠加性。也可以只满足叠加性而不满足齐次性
如下图所示的一个复数系统,系统的输出为输入的实部。如果我们设置一个比例系数为i,那么系统的输出为输入的虚部。与实部乘i不一定相等。此时该系统就不满足齐次性。
但是如果一个系统是实数系统,那么该系统的叠加性就与齐次性等价。满足齐次性就一定满足叠加性。我们可以通过验证叠加性来判断一个系统是不是线性系统
我们再举一个满足齐次性但不满足叠加性的例子
也就是说只有实数系统我们才可以只验证一个就可以,其他的系统要想是线性系统必须同时满足齐次性和叠加性
如图所示的系统,线性组合后的输出等于输出的线性组合,这个系统是线性系统这里前者的线性组合指的是自变量的线性组合,后者的线性组合指的是因变量的线性组合。
增量线性系统
我们知道y=ax+b这种系统不是线性系统,而y=ax是线性系统。中间只差了一个b。我们也想用线性系统的研究方法研究该系统,该怎么做呢?我们这里引入一个新的概念
如何判断一个线性系统是否是增量线性系统?有如下方法
局部线性系统与线性化
顾名思义,局部线性系统就是在某一个局部区间满足线性关系的系统。对于实际系统通常都是一些局部的线性系统。
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